Flächen zwischen Graphen bestimmen
Vorwort
Bislang haben wir uns mit dem Bilden von Stammfunktionen und dem Berechnen von bestimmten Integralen beschäftigt. Dabei handelt es sich um Flächen, die durch den Funktionsgraphen und die $x$-Achse eingeschlossen werden.
Es gibt aber auch Flächen, die von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen werden. Mit diesen befassen wir uns in diesem Abschnitt.
Flächen zwischen Graphen
Vorgehen beim Bestimmen von Flächen zwischen zwei Graphen
Will man eine Fläche berechnen, die von zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$ eingeschlossen wird, muss man zunächst die Ränder der Fläche bestimmen. Den oberen und unteren Rand kennen wir bereits, da die Fläche dort von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird. Den linken ($a$) und den rechten ($b$) Rand erhält man, indem man die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen $f$ und $g$ bestimmt. Die $x$-Werte genügen hierfür.
Schritt 1:
Die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmt man, indem man die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt und die entstandene Gleichung nach $x$ auflöst.
Schritt 2:
Hat man auf diese Weise die Schnittstellen $a$ und $b$ bestimmt, setzt man diese als Unter- bzw. Obergrenze des gesuchten Integrals ein.
Eine Möglichkeit, um nun den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zu bestimmen, ist, zunächst für $f$ und $g$ die jeweils zwischen Funktionsgraph und $x$-Achse eingeschlossene Fläche im Intervall $[a;b]$ zu bestimmen und anschließend die beiden Flächeninhalte zu subtrahieren.
Option 1 – Schritt 3:
Man bestimmt die beiden Integrale $\displaystyle ~ A_f = \int_a^b f(x) dx ~ $ und $\displaystyle ~ A_g = \int_a^b g(x) dx ~ $.
Option 1 – Schritt 4:
Berechne nun die Differenz $~ A_f - A_g = A$.
Bildlich kann man sich das wie folgt vorstellen:
Die gesuchte Fläche $A$ ist die Differenz der beiden dargestellten Teilflächen $A_f$ und $A_g$.
Es gibt auch eine zweite Möglichkeit, um den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zu bestimmen:
Option 2 – Schritt 3:
Bestimme die Differenz aus $f(x)$ und $g(x): \quad d(x) = f(x) - g(x)$.
Option 2 – Schritt 4:
Bestimme anschließend das Integral aus $\displaystyle \int_a^b d(x) ~ dx$.
Warum darf man das?
$\displaystyle \begin{aligned} A &= A_f - A_g \\ &= \int_a^b f(x) ~ dx - \int_a^b g(x) ~ dx \\ &= \int_a^b (f(x) - g(x)) ~ dx \\ &= \int_a^b d(x) ~ dx \end{aligned}$
mit $~ d(x)=f(x)-g(x)$.
Hierbei greift die Summenregel bezüglich des bestimmten Integrals, welche rückwärts gelesen besagt, dass man – anstatt mit $A_f$ und $A_g$ zwei Integrale zu bestimmen und anschließend zu subtrahieren – auch direkt die Differenz der beiden Funktionsterme $~ d(x) = f(x) - g(x)$ integrieren kann. Daher gilt:
$\displaystyle \int_a^b f(x) ~ dx ~ \pm \int_a^b g(x) ~ dx ~ = \int_a^b (f(x) \pm g(x)) ~ dx ~ = \int_a^b d(x) ~ dx$.
Beispiel:
Der Graph der Funktion $f_1(x) = 0,5x^2 - 2x + 3,5$ wird vom Graphen der Funktion $f_2(x) = x + 1$ geschnitten. Gesucht ist die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
Damit man die Fläche berechnen kann, die zwischen den beiden Graphen eingeschlossen wird, muss man zunächst die Grenzen kennen. Diese werden durch die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen bestimmt:
Abb. 3: Fläche zwischen zwei Graphen
Die Schnittpunkte lassen sich berechnen, indem man die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt:
$\displaystyle \begin{aligned} 0,5x^2 - 2x + 3,5 &= x + 1 && \quad | - x - 1 \\ 0,5x^2 - 3x + 2,5 &= 0 && \quad | :0,5 \\ x^2 - 6x + 5 &= 0 && \quad | \text{ p-q-Formel} \\ \ldots && \\ x_1 &= 1, \quad x_2 = 5 \end{aligned}$
Nun bildet man die Differenz der beiden Funktionen, um die Funktion zu erhalten, die die Fläche beschreibt:
$d(x) = f_1(x) - f_2(x) = 0,5x^2 - 2x + 3,5 - (x + 1) = 0,5x^2 - 3x + 2,5$
Und zum Schluss integriert man die Funktion $d(x)$ über die Grenzen der Schnittpunkte und bildet davon den Betrag, um die Fläche zu berechnen:
$\begin{aligned} \displaystyle A &= \int_1^5 d(x) dx \\ &= \int_1^5 0,5x^2 - 3x + 2,5 dx \\ &= \big[ 1/6 x^3 - 1,5 x^2 + 2,5x \big]_1^5 \end{aligned}$
Der gesuchte Flächeninhalt ist der Betrag der Differenz der Funktionswerte von $F(x)$ an den Grenzen $1$ und $5$:
$\displaystyle \begin{aligned} A &= \vert F(5) - F(1) \vert = \vert (1/6 \cdot 5^3 - 1,5 \cdot 5^2 + 2,5 \cdot 5) - (1/6 \cdot 1^3 - 1,5 \cdot 1^2 + 2,5 \cdot 1) \vert \\ &= \quad \ldots \quad = \vert -25/6 - 7/6 \vert = \vert -32/6 \vert = 16/3 \approx 5,\overline{3} \text{ [FE]} \end{aligned}$
Übung macht den Meister
Aufgabe1 (Übung macht den Meister)
- Der Graph der Funktion $f_1(x) = 0,5(x - 2)^2 + 3,5$ wird vom Graphen der Funktion $f_2(x) = x + 3$ geschnitten. Berechne die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
- Der Graph der Funktion $f_1(x) = x^3-4x^2+5x-3$ wird vom Graphen der Funktion $f_2(x) = 2x^2 -4x +1$ geschnitten. Berechne die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
- Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^2 + 18x + 24$. Bestimme die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen, der $x$-Achse und der $y$-Achse.