Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Ober- und Untersumme
Eine Möglichkeit, um den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$-Achse (oder kurz: unterhalb eines Funktionsgraphen) zu bestimmen, ist das Berechnen der sogenannten Ober- und Untersumme.
Obersumme und Untersumme dienen in der Integralrechnung dazu, den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen näherungsweise durch Rechtecke zu berechnen (man spricht hierbei von einer sogenannten Approximation). Die Untersumme (die Summe der kleineren Rechtecke) liegt vollständig unter dem Funktionsgraphen (und ist somit kleiner als die wahre Fläche des Funktionsgraphen), während die Obersumme (die Summe der großen Rechtecke) darüber liegt (und somit größer als die wahre Fläche ist).
Unter- und Obersumme
Zunächst wird das Intervall $[a; b]$ wird in $n$ gleich breite Teilabschnitte unterteilt. Die Breite dieser Teilabschnitte (und somit später der einzelnen Rechtecke) beträgt dann $\frac{b-a}{n}$.
Anschließend addiert man die Flächeninhalte der einzelnen Streifen, wobei man folgendes beachten muss:
- Bei der Untersumme wird jedes Rechteck stets unter dem Funktionsgraph eingezeichnet. Der kleinste Funktionswert in jedem Teilbereich gibt dabei die Höhe des Rechtecks an.
- Bei der Obersumme wird das Rechteck immer über der Kurve eingezeichnet. Hierbei gibt der größte Funktionswert in jedem Teilbereich die Höhe des Rechtecks an.
Beispiel:
In diesem Beispiel wollen wir den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ mit $f(x)=x^2$ und der $x$-Achse im Intervall von $0$ bis $2$ bestimmen.
Mit Hilfe von GeoGebra und dem Befehl A = Integral(f, 0, 2)
lässt sich dies ganz einfach realisieren und wir erhalten die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen: $A=2,67$ Flächeneinheiten (kurz: FE).
Abb. 1: Flächeninhalt unterhalb des Graphen von $f$
Zerlegt man nun das Intervall in drei ($n=3$) gleich große Abschnitte, so erhält man folgende Ober- sowie Untersummen:
Erhöht man nun schrittweise die Anzahl der Teilabschnitte ($n$), so erhält man folgende Ergebnisse:
Und für $n=30$ ist bereits eine deutliche Annäherung an die “wahre Fläche” erkennbar:
Erste Übung
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/pe2xznsq
Aufgabe1
Hier siehst du die gesuchte Fläche sowie einen Schieberegler, mit dem die Anzahl der Rechtecke ($n$) verändert werden kann. Folgende Werte können eingeblendet werden: Obersumme und Untersumme. Außerdem wird die Differenz $O_n – U_n$ angezeigt.
- Beginne mit der kleinsten Einstellung des Schiebereglers ($n$ = 2) und trage die aus der Grafik abgelesenen Werte in die Tabelle auf deinem Arbeitsblatt ein. Variiere den Parameter $n$ aufsteigend und fülle die Tabelle entsprechend weiter aus.
- Beschreibe wie sich die abgelesen Werte mit steigendem $n$ verändern?
- Gib eine Schätzung für die wahre Fläche ab.
Orientiere dich in Aufgabenteil a) an folgender Tabelle:
| $n$ | $2$ | … |
|---|---|---|
| Untersumme | ||
| Obersumme |
Aus Ober- und Untersumme wird das Integral
Grenzwert von Ober- und Untersumme
Grundsätzlich gilt:
Je mehr Rechtecke bei Ober- und Untersumme eingezeichnet werden (sprich: je größer $n$ ist), desto genauer ist die Annäherung an die wahre Fläche unterhalb des Funktionsgraphen. Man spricht hierbei auch von der sog. Feinheit der Zerlegung bzw. der Unterteilung des Intervalls.
Was sich daraus folgern lässt?
Den Grenzwert von Ober- und Untersumme bezeichnet man als das sogenannte Integral von $f$ in den Grenzen von $a$ bis $b$.
Man schreibt hierfür:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = \int_a^b f(x) ~ dx$.
Bedeutung der Symbole
- Das Integralzeichen $\int$ ist ein langgestrecktes “S”, das für das lateinische Wort “Summa” (Summe) steht.
- $a$ und $b$ bezeichnen hierbei die Grenzen des Intervalls, wobei man hier noch einmal zwischen unterer Grenze ($a$) und oberer Grenze ($b$) unterscheidet.
- Das $dx$ am Ende des Integrals ist das sogenannte Differential und kennzeichnet die Integrationsvariable. Hier: $x$.
Geometrische Bedeutung
Im Prinzip kann man sich geometrisch gesehen das Integral wie die Summe – deshalb ja auch das $\int$ (“S”) – unendlich vieler unendlich schmaler “Streifen” vorstellen (siehe Abbildung 8). Hierzu wird jeweils die Höhe des Rechtecks ($f(x)$) mit der Breite des Rechtecks ($dx$) multipliziert und anschließend aufaddiert.
Abb. 8: Geometrische Interpretation des Integrals
Abb. 9: Integral von $f$ in den Grenzen von $a$ und $b$
Bevor wir uns als nächstes die Bedeutung des unbestimmten Integrals anschauen, müssen wir zunächst noch den Begriff der Stammfunktion klären.
Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x)
Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn gilt:
$$F’(x) = f(x).$$
Oder anders ausgedrückt:
Jede Funktion $F$, deren Ableitung der Funktionsgleichung von $f$ entspricht, nennt man Stammfunktion von $f$. Es muss also $F’(x) = f(x)$ erfüllt sein.
Unter dem Strich bedeutet das also, dass die Ableitung der Stammfunktion gerade wieder die ursprüngliche Funktion ergibt, wie du auf der nachfolgenden Grafik anschaulich sehen kannst:
Abb. 10: Der Kreislauf des Ableitens und Aufleitens
Bildquelle: mathe-lerntipps.de (letzter Aufruf: 25.02.2026)
Wie bildet man denn nun also die Stammfunktion?
Eine Stammfunktion zu bilden, bedeutet also, die Funktionsgleichung aufzuleiten. Und diesen Vorgang kann man sich wie ein “rückwärts ableiten” vorstellen.
Bevor wir allerdings dazu kommen, wie man “aufleitet”, klären wir zunächst noch die beiden Begriffe unbestimmtes Integral und bestimmtes Integral:
Unbestimmtes Integral
Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen von $f$.
Man schreibt:
$\displaystyle \int f(x) ~ dx = F(x) + c$ $\quad \left( c\in\mathbb{R} \right)$.
Was ist mit 'die Menge aller Stammfunktionen' gemeint?
Weißt du noch, was beim Ableiten mit Konstanten passiert? Richtig. Diese fallen gemäß der Konstantenregel (vgl. Abschnitt Ableitungsregeln) beim Ableiten weg. Daher kann man beim “Rückwärts-Ableiten” nicht wissen, welche reelle Zahl $c \in \mathbb{R}$ zuvor als Konstante in der Funktionsgleichung gestanden haben muss. Hierfür gibt es unendlich viele Möglichkeiten, da es ja schließlich auch unendlich viele reelle Zahlen ($\mathbb{R}$) gibt.
Man schreibt daher: $F(x)+c$, wobei $c$ für die unbekannte reelle Zahl (Konstante) steht.
Das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral bezeichnet die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[a,b]$. Es wird also seitlich begrenzt durch die Geraden $x = a$ und $x = b$.
Schreibweise:
$\displaystyle \int_a^b f(x) ~ dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) − F(a)$
Diese letzte Aussage bezeichnet man auch als den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Geometrische Interpretation des bestimmten Integrals
Wie gesagt: Beim bestimmten Integral von $f$ von $a$ bis $b$ handelt es sich um die Summe der orientierten Flächeninhalte der Teilflächen zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse. Geometrisch interpretiert handelt es sich hierbei um eine sogenannte Flächenbilanz, da sich positive und negative Flächeninhalte auch gegenseitig aufgrund unterschiedlicher Orientierung aufheben können.
Orientierung meint hierbei, dass Flächen oberhalb ($+$) oder unterhalb ($-$) der $x$-Achse liegen können. Man geht also davon aus, dass ein Flächeninhalt mit negativem Vorzeichen ($-$) eine Fläche beschreibt, die unterhalb der $x$-Achse liegt. Ein Flächeninhalt mit positivem Vorzeichen ($+$) beschreibt wiederum eine Fläche, die oberhalb der $x$-Achse liegt.
Abb. 11: orientierte Flächeninhalte des bestimmten Integrals
Beispiel für die Flächenbilanz des bestimmten Integrals
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3$. Gesucht ist die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse – also das bestimmte Integral.
Abb. 12: Das bestimmte Integral von $f$ in den Grenzen von $a$ und $b$ ist die Summe der oritentierten Flächeninhalte $A_1$ und $A_2$.
Da der Graph von $f$ an der Stelle $x=0$ eine Nullstelle besitzt, teilt diese die Gesamtfläche in zwei Teilflächen auf, wobei der linke Teil ($A_1$) unterhalb ($-$) und der rechte Teil ($A_2$) oberhalb ($+$) der $x$-Achse liegt.
Das linke Teilstück hat einen Flächeninhalt von $0,25$. Die rechte Teilfläche besitzt einen Flächeninhalt von $4$. Unter dem Strich ist jedoch das bestimmte Integral nicht – wie man zunächst annehmen könnte – $4,25$, sondern $3,75$, da sich die beiden Flächen gegenseitig anteilig aufheben: $A_1 + A_2 = -0,25 + 4 = 3,75$.
Ausblick
Im folgenden Kapitel Erste Integrationsregeln werden wir uns anschauen, wie man Stammfunktionen bildet – ähnlich wie das Ableiten und mit festen Regeln.