Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben
Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben
Definition:
Seien $c$ und $a$ reelle Zahlen ($c, a \in \mathbb{R}$) mit $c$ ungleich Null ($c \neq 0$), $a$ positiv ($a > 0$) und ungleich Eins ($a \neq 1$).
Dann bezeichnet man die Funktion
$$f(x) = c \cdot a^x$$
als Exponentialfunktion zur Basis $a$. $c$ bezeichnet hierbei den Startwert (zum Zeitpunkt $0$).
Beispiel 2: Bakterienwachstum
Eine Mikrobenpopulation wächst täglich um $60\%$ an. Zu Beobachtungsbeginn sind $200$ Mikroben vorhanden.
Gesucht ist die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die Anzahl der Bakterien $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Tagen beschreibt.
Lösung zu Beispiel 2
Der gesuchte Wachstumsfaktor, mit dem sich die vorhandene Population an einem Tag vervielfacht, beträgt hier $1,60$. Da es sich um ein Wachstum handelt, ist dieser größer als $1$. Im Detail setzen sich die $1,60$ aus $100\%$ Bestand plus $60\%$ Zuwachs zusammen – und dies ergibt $160\%$, was wiederum $1,60$ entspricht.
Die gesuchte Bestandsfunktion $B$ lautet also: $\qquad B(n) = 200 \cdot 1,6^n$ ($n$ in Tagen).
Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall
In einem Experiment zerfallen minütlich $30\%$ der noch vorhandenen Stoffmenge eines radioaktiven Elements. Zu Beobachtungsbeginn sind $2$ mg des Stoffs vorhanden.
Gesucht ist die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die noch nicht zerfallene Stoffmenge $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Minuten beschreibt.
Lösung zu Beispiel 3
Es handelt sich hierbei um einen Zerfalls- bzw. Abnahmeprozess. Der Wachstumsfaktor ist hier also kleiner als $1$. Genauer gesagt beträgt dieser hier $0,7$, denn $100\%$ abzüglich $30\%$ Zerfall (Verlust) ergibt $70\%$.
Die gesuchte Bestandsfunktion $B$ lautet also: $\qquad B(n) = 2 \cdot 0,7^n$ ($n$ in Minuten).
Übung macht den Meister
Aufgabe1 (Wertetabellen erstellen und Graphen skizzieren)
Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen von $f$ für $-3 \leq x \leq 3$.
- $f(x) = 1,8 \cdot 2^x$
- $f(x) = 0,6 \cdot 1,5^x$
- $f(x) = 2 \cdot 0,6^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 1,5^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 2^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 0,6^x$
- $f(x) = (-2)^x$
Aufgabe2 (Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen zuordnen)
Ordne die gegebenen Funktionsgleichungen dem jeweils passenden Funktionsgraphen aus Abbildung 3 zu. Begründe kurz deine Zuordnung.
- $f(x) = 2^x$
- $f(x) = 3,1^x$
- $f(x) = 1,3^x$
- $f(x) = 0,2^x$
- $f(x) = (\frac12)^x$
- $f(x) = (\frac34)^x$
Abb. 1: Beispiel für den Graphen einer Exponentialfunktion bei exponentiellem Wachstum
Lösungen
folgen…