Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum verstehen
Es gibt eine Klasse von Funktionen, mit deren Hilfe sich viele Wachstums- und Zerfallsprozesse modellhaft darstellen und erfassen lassen. Die Rede ist von sogenannten Exponentialfunktionen. Mit diesen befassen wir uns in diesem Kapitel.
Zunächst wollen wir jedoch den Blick auf ein paar Begriffe werfen, die hierfür grundlegend sind.
Exponentielles vs. lineares Wachstum
In der Mathematik beschreibt der Ausdruck “exponentiell” ein Wachstum oder einen Zerfall, bei dem sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitabständen immer um denselben Faktor multipliziert, anstatt addiert zu werden, wie es bei linearem Wachstum der Fall ist. Das führt zu immer schnelleren Zu- oder Abnahmen, wie die beiden nachfolgenden Beispiele Bakterienwachstum (Bsp. 2) oder radioaktiver Zerfall (Bsp. 3) zeigen werden.
Merke dir:
Wächst eine Größe $G$ in gleich langen Zeitabschnitten um den gleichen Prozentsatz $p\%$, d. h. wird immer mit dem gleichen Faktor ($q > 1$) vervielfacht, liegt ein exponentielles Wachstum vor.
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
Die Wachstumsrate $p\%$ gibt die Veränderung einer Ausgangsgröße in einem bestimmten Zeitabschnitt in Prozent an:
$$\displaystyle \qquad p\% = \frac{\textrm{neue Größe - alte Größe}}{\textrm{alte Größe}}$$
Der Faktor, mit dem der alte Wert multipliziert werden muss, um den neuen Wert zu erhalten, heißt Wachstumsfaktor $q$:
$$\displaystyle \qquad q = 1 + p\% = 1 + \frac{p}{100}$$
Bei einer Abnahme ist die Wachstumsrate negativ, der Wachstumsfaktor liegt dann zwischen $0$ und $1$.
Wusstest du?
Wird Geld verzinst, so nennt man den Wachstumsfaktor übrigens oft auch Aufzinsungsfaktor.
Beispiel 1: Gewinn eines Unternehmens
Der Gewinn einer Firma wuchs innerhalb eines Jahrs von $80.000€$ auf $86.000€$.
$\displaystyle \qquad p\% = \frac{86000 - 80000}{80000} = \frac{6000}{80000} = 7,5%$
Die Wachstumsrate beträgt also $7,5\%$.
Das bedeutet auch, dass der Gewinn des Unternehmens um das $1,075$-fache zugenommen hat, denn der Wachstumsfaktor beträgt:
$\qquad q = 1 + 7,5\% = 1 + 0,075 = 1,075$.
Hinweis:
Im Falle von Prozessen mit negativen Wachstumsraten spricht auch man von exponentieller Abnahme.
Abb. 1: Graph einer Exponentialfunktion bei exponentiellem Wachstum Abb. 2: Graph einer Exponentialfunktion bei exponentieller Abnahme
Erste Übungen
Aufgabe1 (Regelmäßigkeiten erkennen und Werte ergänzen)
Die beiden Tabellen beschreiben jeweils einen exponentiellen Vorgang. Ergänze die fehlenden Werte.
$n$ 0 1 2 3 5 $B(n)$ 2 6 18 $n$ 0 1 3 5 7 $B(n)$ 800 400
Aufgabe2 (Exponentiell oder linear?)
Finde heraus, um welche Art von Wachstum es sich handelt.
$n$ 1 2 3 5 7 $B(n)$ 2 4 6 10 14 $n$ 1 2 3 4 6 $B(n)$ $\frac12$ $\frac14$ $\frac18$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{64}$ $n$ 0 1 2 3 4 10 20 $B(n)$ 4 10 25 62,5 $n$ 0 1 2 3 4 10 20 $B(n)$ 28 23,5 19 14,5 $n$ 0 1 2 3 4 10 20 $B(n)$ 120 96 76,8 61,44
Aufgabe3 (Exponentiell oder linear?)
Entscheide, ob hier ein exponentielles Wachstum vorliegt und gib gegebenenfalls den Wachstumsfaktor an.
- Herr Maier legt sein Geld auf einem Tagesgeldkonto zu einem festen Zinssatz in Höhe von $2,1\%$ an.
- Der Wert eines Autos nimmt jährlich um $20\%$ des Vorjahreswerts ab.
- Johanna spart monatlich $5€$.
- Eine Kettennachricht wird von jedem Empfänger an 7 weitere Personen geschickt.
- Eine spezielle Algenkultur ($15g$) verdoppelt ihre Masse alle zwei Tage.
Lösungen
folgen…
Exponentielles Wachstum erkennen und beschreiben
Definition:
Seien $c$ und $a$ reelle Zahlen ($c, a \in \mathbb{R}$) mit $c$ ungleich Null ($c \neq 0$), $a$ positiv ($a > 0$) und ungleich Eins ($a \neq 1$).
Dann bezeichnet man die Funktion
$$f(x) = c \cdot a^x$$
als Exponentialfunktion zur Basis $a$.
Beispiel 2: Bakterienwachstum
Eine Mikrobenpopulation wächst täglich um $60\%$ an. Zu Beobachtungsbeginn sind $200$ Mikroben vorhanden.
Gesucht ist die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die Anzahl der Bakterien $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Tagen beschreibt.
Lösung zu Beispiel 2
Der gesuchte Wachstumsfaktor, mit dem sich die vorhandene Population an einem Tag vervielfacht, beträgt hier $1,60$. Da es sich um ein Wachstum handelt, ist dieser größer als $1$. Im Detail setzen sich die $1,60$ aus $100\%$ Bestand plus $60\%$ Zuwachs zusammen – und dies ergibt $160\%$, was wiederum $1,60$ entspricht.
Die gesuchte Bestandsfunktion $B$ lautet also: $\qquad B(n) = 200 \cdot 1,6^n$ ($n$ in Tagen).
Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall
In einem Experiment zerfallen minütlich $30\%$ der noch vorhandenen Stoffmenge eines radioaktiven Elements. Zu Beobachtungsbeginn sind $2$ mg des Stoffs vorhanden.
Gesucht ist die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die noch nicht zerfallene Stoffmenge $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Minuten beschreibt.
Lösung zu Beispiel 3
Es handelt sich hierbei um einen Zerfalls- bzw. Abnahmeprozess. Der Wachstumsfaktor ist hier also kleiner als $1$. Genauer gesagt beträgt dieser hier $0,7$, denn $100\%$ abzüglich $30\%$ Zerfall (Verlust) ergibt $70\%$.
Die gesuchte Bestandsfunktion $B$ lautet also: $\qquad B(n) = 2 \cdot 0,7^n$ ($n$ in Minuten).
Übung macht den Meister
Aufgabe4 (Wertetabellen erstellen und Graphen skizzieren)
Erstelle eine Wertetabelle und skizziere den Graphen von $f$ für $-3 \leq x \leq 3$.
- $f(x) = 1,8 \cdot 2^x$
- $f(x) = 0,6 \cdot 1,5^x$
- $f(x) = 2 \cdot 0,6^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 1,5^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 2^x$
- $f(x) = 0,5 \cdot 0,6^x$
- $f(x) = -2^x$
Aufgabe5 (Funktionsgleichungen und Funktionsgraphen zuordnen)
Ordne die gegebenen Funktionsgleichungen dem jeweils passenden Funktionsgraphen aus Abbildung 3 zu. Begründe kurz deine Zuordnung.
- $f(x) = 2^x$
- $f(x) = 3,1^x$
- $f(x) = 1,3^x$
- $f(x) = 0,2^x$
- $f(x) = (\frac12)^x$
- $f(x) = (\frac34)^x$
Abb. 3: Beispiel für den Graphen einer Exponentialfunktion bei exponentiellem Wachstum
Aufgabe7 (Regelmäßigkeiten erkennen und Funktionsgleichungen aufstellen)
Lösungen
folgen…