Exponentielle Bestandsfunktionen bestimmen

Das Wachstum einer weiteren Mikrobenpopulation ist unbekannt. Zu Beobachtungsbeginn sind $400$ Mikroben vorhanden. Nach $4$ Tagen hat sich die Population auf etwa $4200$ Mikroben erhöht.

Gesucht ist zunächst der Wachstumsfaktor sowie die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die Anzahl der Bakterien $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Tagen beschreibt.

Lösung:

Zunächst einmal fassen wir die Aussage “Nach $4$ Tagen hat sich die Population auf etwa $4200$ Mikroben erhöht.” als einen Punkt auf: $\qquad (4|4200)$.

Der Startwert ist mit $400$ Mikroben zu Beobachtungsbeginn ebenfalls schon gegeben.

Beides setzen wir in die folgende Gleichung ein:

$\begin{aligned} B(n) &= B_0 \cdot a^n & \\ 4200 &= 400 \cdot a^4 &\vert ~ :400 \\ 10,5 &= a^4 &\vert ~ \sqrt[4]{} \\ \sqrt[4]{10,5} &= a & \\ 1,8 &\approx a \end{aligned}$

und erhalten im Ergebnis, dass der Wachstumsfaktor $1,8$ und somit die Wachstumsrate ca. $80\%$ beträgt.

Die gesuche Bestandsfunktion lautet also: $\qquad B(n) = 400 \cdot 1,8^n$.

Bekannt ist, dass der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^x$ durch die beiden Punkte $(3|24)$ und $(5|96)$ verläuft. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion.

Zunächst stellen wir mit Hilfe der beiden Punkte jeweils eine Gleichungen auf:

1. $24 = c \cdot a^3$
2. $96 = c \cdot a^5$

Nun teilen wir die Gleichung mit dem größeren Exponenten durch die mit dem kleineren:

$\begin{aligned} \frac{96}{24} &= \frac{a^5}{a^3} \\ 4 &= a^{5-3} \\ 4 &= a^2 &\vert ~ \sqrt[2]{} \\ 2 &= a \end{aligned}$

Um den Startwert $c$ zu berechnen, muss man nun noch etwas “zurückrechnen”:

$\begin{aligned} 24 &= c \cdot 2^3 &\vert ~ : 2^3 \\ 3 &= c \end{aligned}$