Exponentialfunktionen und -gleichungen
Berechnung von Funktions- und Umkehrwerten
In der Realität gibt es Situationen, die exponentielle Vorgänge beschreiben, und in denen man sich Fragen stellt wie:
- “Nach welcher Zeit …?”
- “Wie viel … nach einer bestimmten Zeit?”
Solche Fragestellungen lassen sich in der Regel auf unterschiedliche Arten lösen:
- durch Ausprobieren
- graphisch oder
- rechnerisch.
Letztere ist diejenige, auf die wir uns nachfolgend konzentrieren werden. Die Umkehrfunktion des Potenzierens (“hoch irgendwas rechnen”) nennt man Logarithmieren.
Definition Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren und beantwortet die Frage: “Mit welcher Zahl (Exponent $x$) muss ich eine Basis ($a$) potenzieren, um einen bestimmten Wert (Numerus $N$) zu erhalten?”.
Die oben genannte Gleichung, welche wir lösen wollen, lautet also: $a^x=N$.
Die Schreibweise der Lösung lautet dann: $x = log_a(N)$.
Gesprochen: "$x$ ist gleich der Logarithmus zur Basis $a$ von $N$."
Wichtige Regeln sind, dass
- der Numerus $N$ und die Basis $a$ positiv sein müssen und
- die Basis $a$ nicht $1$ sein darf.
Beispiel: Exponentialgleichung lösen durch Logarithmieren
Gesucht ist die Lösung der Gleichung $2^x=8$.
Oder anders ausgedrückt: “Wie oft muss man 2 mit sich selbst multiplizieren, um 8 zu erhalten?”
$\begin{aligned} &&2^x &=8 &\vert ~ \log \\ \Leftrightarrow &&x &= \log_2(8) \\ \Leftrightarrow &&x &= 3 \end{aligned}$
Antwort: $\qquad$ Um 8 zu erhalten, muss man die $2$ dreimal mit sich selbst multiplizieren.
Übung macht den Meister
Aufgabe1 (Exponentialgleichungen lösen - Level 1: Im Kopf logarithmieren)
Ermittle den Logarithmus ohne Hilfsmittel.
- $\log_2(32)$
- $\log_{10}(1000)$
- $\log_7(1)$
- $\log_4(\frac{1}{16})$
Aufgabe2 (Exponentialgleichungen lösen - Level 2)
Löse die Exponentialgleichung. Runde das Ergebnis auf Hundertstel.
- $2^x = 128$
- $10^x = 350$
- $1,1^x - 150 = 70$
- $4 + 0,9^x - 150 = 25$
- $3 \cdot 1,2^x = 270$
- $\displaystyle \frac{12}{2^x} = 4$
- $5 : 2,2^x = 1$
- $3^x = -2$
Lösungen
folgen…
Aufgabe3 (Weitere Aufgaben)
Exponentielle Bestandsfunktionen bestimmen
Funktionsgleichungen von Exponentialfunktionen lassen sich bestimmen,
- wenn ein Punkt sowie der Startwert oder
- wenn zwei Punkte
gegeben sind.
Hierzu braucht es etwas Übung und die Kenntnis über Potenzregeln und das Lösen von Exponentialgleichungen. Hiermit befassen wir uns in diesem Abschnitt.
Beispiel 3: Bakterienwachstum
Das Wachstum einer weiteren Mikrobenpopulation ist unbekannt. Zu Beobachtungsbeginn sind $400$ Mikroben vorhanden. Nach $4$ Tagen hat sich die Population auf etwa $4200$ Mikroben erhöht.
Gesucht ist zunächst der Wachstumsfaktor sowie die Bestandsfunktion $B(n)$, welche die Anzahl der Bakterien $B$ in Abhängigkeit von der Zeit $n$ in Tagen beschreibt.
Lösung:
Zunächst einmal fassen wir die Aussage “Nach $4$ Tagen hat sich die Population auf etwa $4200$ Mikroben erhöht.” als einen Punkt auf: $\qquad (4|4200)$.
Der Startwert ist mit $400$ Mikroben zu Beobachtungsbeginn ebenfalls schon gegeben.
Beides setzen wir in die folgende Gleichung ein:
$\begin{aligned} B(n) &= B_0 \cdot a^n & \\ 4200 &= 400 \cdot a^4 &\vert ~ :400 \\ 10,5 &= a^4 &\vert ~ \sqrt[4]{} \\ \sqrt[4]{10,5} &= a & \\ 1,8 &\approx a \end{aligned}$
und erhalten im Ergebnis, dass der Wachstumsfaktor $1,8$ und somit die Wachstumsrate ca. $80\%$ beträgt.
Die gesuche Bestandsfunktion lautet also: $\qquad B(n) = 400 \cdot 1,8^n$.
Beispiel 4: Funktionsgleichung aus zwei Punkten aufstellen
Bekannt ist, dass der Graph einer Exponentialfunktion der Form $f(x) = c \cdot a^x$ durch die beiden Punkte $(3|24)$ und $(5|96)$ verläuft. Gesucht ist die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion.
Zunächst stellen wir mit Hilfe der beiden Punkte jeweils eine Gleichungen auf:
- $24 = c \cdot a^3$
- $96 = c \cdot a^5$
Nun teilen wir die Gleichung mit dem größeren Exponenten durch die mit dem kleineren:
$\begin{aligned} \frac{96}{24} &= \frac{a^5}{a^3} \\ 4 &= a^{5-3} \\ 4 &= a^2 &\vert ~ \sqrt[2]{} \\ 2 &= a \end{aligned}$
Um den Startwert $c$ zu berechnen, muss man nun noch etwas “zurückrechnen”:
$\begin{aligned} 24 &= c \cdot 2^3 &\vert ~ : 2^3 \\ 3 &= c \end{aligned}$
Übungen zum Aufstellen von Exponentialfunktionen
Aufgabe4 (Exponentialgleichungen aufstellen - Level 1)
Ermittle eine exponentielle Bestandsfunktion zum Anfangswert $c$, deren Graph durch den Punkt $P$ verläuft.
- $c = 1500; ~~ P(1|750)$
- $c = 1,6; ~~ P(5|4,8)$
- $c = 32; ~~ P(3|4)$
- $c = 2,4; ~~ P(0,5|3,6)$
Aufgabe5 (Exponentialgleichungen aufstellen - Level 2)
Ermittle eine exponentielle Bestandsfunktion, deren Graph durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
- $A(0|5); ~~ B(1|7,5)$
- $A(2|75); ~~ B(6|46875)$
- $A(-3|16); ~~ B(2|0,5)$
- $A(2|3); ~~ B(5|17)$
- $A(7|5); ~~ B(4|8)$
- $A(1|5); ~~ B(4|40)$
- $A(2|3); ~~ B(6|75)$
- $A(2|1); ~~ B(3|5)$