Weitere Ableitungsregeln
Produktregel
$\displaystyle f(х) = g(х) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)= g’(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h’(x)$
Beispiel für die Anwendung der Produktregel:
$f(x) = 3x^2 \cdot (5x - 7)$
$\rightarrow \quad f’(x) = 6x \cdot (5x - 7) + 3x^2 \cdot 5$
Quotientenregel
$\displaystyle f(х) = \frac{u(х)}{v(x)} \quad \rightarrow \quad f’(x)= \frac{u’(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v’(x)}{(v(x))^2}$
Beispiel für die Anwendung der Quotientenregel:
$\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{2x+2} $
$\displaystyle \rightarrow \quad f’(x) = \frac{2x \cdot (2x+2) - x^2 \cdot 2}{(2x+2)^2}$
Kettenregel
$\displaystyle f(х) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f’(x)= g’(h(x)) \cdot h’(x)$
Beispiel für die Kettenregel:
$\displaystyle f(x) = (3x^2 + 4)^5$
$\rightarrow \quad f’(x) = 5 \cdot (3x^2 + 4)^4 \cdot 6x$
Aufgabe1 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils den Term der Ableitungsfunktion $f’(x)$ mit Hilfe der Produktregel.
- $f(x) = x^2 \cdot (x - 1)$
- $f(x) = (x^2 - \frac14 x) \cdot (x^2 + 3)$
- $f(x) = 4x^2 \cdot (-2x+2)$
- $f(x) = x^2 \cdot x$
- $f(x) = (x - 1) \cdot (x^2 + x + 7)$
Aufgabe2 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils den Term der Ableitungsfunktion $f’(x)$ mit Hilfe der Quotientenregel.
- $\displaystyle f(x) = \frac{4}{3x-2}$
- $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{2x-1}$
- $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{3x^2-2}$
- $\displaystyle f(x) = \frac{2x+3}{x^5}$
Aufgabe3 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils den Term der Ableitungsfunktion $f’(x)$ mit Hilfe der Kettenregel.
- $\displaystyle f(x) = (2x+4)^2$
- $\displaystyle f(x) = 3(x^2+3)^3$
- $\displaystyle f(x) = \frac12(4x^3+1)^4$
- $\displaystyle f(x) = \frac{1}{10}(\frac12 x^2 - 7x)^5$
Aufgabe4 (Gemischte Aufgaben)
Bestimme jeweils den Term der Ableitungsfunktion $f’(x)$.
- $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^3} + 3x + 1$
- $\displaystyle f(x) = \frac{2x+1}{(2x-1)^2}$
- $\displaystyle f(x) = 2x \cdot \frac{3x}{x^2-1}$
- $\displaystyle f(x) = \left( \frac{3x+4}{2x^2+5} \right)^2$