Lehrzeile

Funktionsuntersuchung gebrochen-rationaler Funktionen - Teil 3

Extrempunkte

Das, was jetzt folgt, sollte dich erleichtern:
Das Bestimmen von Extrempunkten von gebrochen-rationalen Funktionen funktioniert nach demselben Prinzip wie bei ganzrationalen Funktionen 🎉

Es gibt einen einzigen Unterschied: Du benötigst hierzu die weiteren Ableitungsregeln.

Extremwerte bestimmen

  1. Bilde die erste Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: $f’(x) = 0$
  2. Löse die erste Ableitung nach $x$ auf. An diesen Stellen sind entweder ein Minimum oder Maximum gegeben.
  3. Bilde die zweite Ableitung der Funktion. Setze die in 2. ermittelten $x$-Werte in die zweite Ableitung ein.
  4. Ist der Wert der zweiten Ableitung an einer dieser Stellen größer Null, so liegt hier ein Minimum vor:
    $f”(x) > 0 \qquad \Rightarrow \qquad$ Minimum
  5. Ist der Wert der zweiten Ableitung an einer dieser Stellen kleiner Null, so liegt hier ein Maximum vor:
    $f”(x) < 0 \qquad \Rightarrow \qquad$ Maximum
  6. Setze die $x$-Werte aus 2. in die Ausgangsfunktion $f(x)$ ein. So bestimmst du die dazugehörigen $y$-Werte der Extrempunkte.

Beispiel:

Wir untersuchen die gebrochen-rationale Funktion $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ auf mögliche Extrempunkte.

Wir bilden die erste Ableitung:

$\begin{aligned} &&f’(x) &= \frac{2x \cdot (x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} \\ \Leftrightarrow && &= \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \\ \Leftrightarrow && &= \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \end{aligned}$

Jetzt bilden wir die zweite Ableitung:

$\begin{aligned} &&f’’(x) &= \frac{(2x+2)\cdot(x+1)^2-2\cdot(x+1)\cdot(x^2+2x)}{(x+1)^4} \\ \Leftrightarrow && &= \frac{(2x+2)\cdot(x+1)-2\cdot(x^2+2x)}{(x+1)^3} \\ \Leftrightarrow && &= \frac{2x^2+4x+2-2x^2-4x}{(x+1)^3} \\ \Leftrightarrow && &= \frac{2}{(x+1)^3} \end{aligned}$

Hinweis: Die dritte Ableitung lassen wir aus Gründen der Vereinfachung weg.

Wir setzen die erste Ableitung gleich Null und lösen die Gleichung:

$\begin{aligned} &&f’(x) &= 0 \\ \Leftrightarrow && \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} &= 0 \\ \Leftrightarrow && x^2 + 2x &= 0 \\ \Leftrightarrow && x \cdot (x+2) &= 0 \\ \Leftrightarrow &&& x_1 = 0, \quad x_2 = -2 \end{aligned}$

Wir untersuchen nun, ob hier jeweils ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt:

$\displaystyle f’’(x) = \frac{2}{(x+1)^3}$:

  1. $\displaystyle f’’(0) = \frac{2}{(0+1)^3} = \frac{2}{1} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad$ Tiefpunkt
  2. $\displaystyle f’’(-2) = \frac{2}{(-2+1)^3} = \frac{2}{(-1)^3} = \frac{2}{-1} = -2 \qquad \Rightarrow \qquad$ Hochpunkt

Nun bestimmen wir die dazugehörigen $y$-Werte:

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$:

  1. $\displaystyle f(0) = \frac{0^2}{0+1} = \frac{0}{1} = 0$
  2. $\displaystyle f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$

Wir fassen nun zusammen:

  1. Der Funktionsgraph besitzt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) im Punkt $TP(0|0)$.
  2. Der Funktionsgraph besitzt ein lokales Maximum (Hochpunkt) im Punkt $HP(-2|-4)$.

Fertig.

Wendepunkte

Noch eine gute Nachricht:
Mit den Wendepunkten von gebrochen-rationalen Funktionen funktioniert das ebenfalls nach demselben Prinzip wie bei ganzrationalen Funktionen 🎉

Wendepunkte bestimmen

  1. Bilde die zweite Ableitung der Funktion und setze diese gleich Null: $f’’(x) = 0$
  2. Löse die zweite Ableitung nach $x$ auf. An diesen Stellen existieren Wendepunkte.
  3. Bilde die dritte Ableitung der Funktion. Setze die in 2. ermittelten $x$-Werte in die dritte Ableitung ein.
  4. Ist der Wert der dritten Ableitung an einer dieser Stellen größer Null, so liegt hier eine Rechts-Links-Wendestelle vor:
    $f”(x) > 0 \qquad \Rightarrow \qquad$ Rechts-Links-Wendestelle
  5. Ist der Wert der dritten Ableitung an einer dieser Stellen kleiner Null, so liegt hier eine Links-Rechts-Wendestelle vor:
    $f”(x) < 0 \qquad \Rightarrow \qquad$ Links-Rechts-Wendestelle
  6. Setze die $x$-Werte aus 2. in die Ausgangsfunktion $f(x)$ ein. So bestimmst du die dazugehörigen $y$-Werte der Wendepunkte.

Beispiel:

Wir untersuchen die gebrochen-rationale Funktion $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ auf das Vorliegen von Wendepunkten.

Die zweite Ableitung kennen wir schon:
$\displaystyle f’’(x) = \frac{2}{(x+1)^3}$

Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null und lösen die Gleichung:

$\begin{aligned} &&f’’(x) &= 0 \\ \Leftrightarrow && \frac{2}{(x+1)^3} &= 0 \\ \Leftrightarrow && 2 &= 0 \quad \text{Widerspruch !!!} \end{aligned}$

Da die Gleichung zu einem Widerspruch führt, schließen wir daraus, dass der Funktionsgraph keine Wendepunkte besitzt.

Übung macht den Meister

Aufgabe1 (Üben und Vertiefen)

Untersuche die folgenden gebrochen-rationalen Funktionen auf Extrem- und Wendepunkte.

  1. $\displaystyle f_1(x)=\frac{5x}{2-x^2}$
  2. $\displaystyle f_2(x)=\frac{x^2+x+9}{x-1}$
  3. $\displaystyle f_3(x)=\frac{2x}{x^2-2x+1}$


Kommen dir die Funktionsgleichungen bekannt vor? Du hast sie schon in Teil 2 auf Achsenschnittpunkte, Asymptoten und Grenzverhalten untersucht.

Lösungen
  • Dieser Funktionsgraph besitzt keine Extrempunkte und somit auch keine Wendepunkte.
  • $TP_1(-2,32|-3,63), \qquad TP_2(4,32|9,63)$, keine Wendepunkte
  • $TP(-1|-\frac12)$, Wendepunkt $WP(-2|-\frac49)$

Hakt es noch ein wenig?

Im folgenden Video findest du eine Erklärung für eine vollständige Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion:

Davor
Funktionsuntersuchung gebrochen-rationaler Funktionen - Teil 2
Danach
Exponentielles Wachstum