Funktionsuntersuchung gebrochen-rationaler Funktionen - Teil 2
Asymptoten
Definition: Asymptote
Eine Asymptote ist eine Linie oder Kurve, der sich der Graph einer Funktion im Unendlichen immer weiter annähert, ohne sie notwendigerweise zu berühren oder zu schneiden.
Gebrochen-rationale Funktionen können verschiedene Arten von Asymptoten haben. Man unterscheidet dabei grundsätzlich zwischen senkrechten und nicht-senkrechten Asymptoten. Den ersten Typ hast du bereits kennengelernt – nur dass man dabei nicht immer von Asymptoten spricht: Polstellen.
In diesem Abschnitt lernen wir weitere Arten von Asymptoten kennen und üben, wie man diese nachweist bzw. untersucht:
- waagerechte und
- schräge Asymptoten sowie
- asymptotische Kurven.
Asymptoten bestimmen
Asymptoten bestimmen
- Senkrechte Asymptoten erhält man durch das Bestimmen der Polstellen.
- Nicht-senkrechte Asymptoten erhält man durch Polynomdivision.
Da wir uns in Teil 1 bereits mit dem Bestimmen von Polstellen (senkrechten Asymptoten) befasst haben, widmen wir uns nun den nicht-senkrechten Asymptoten und deren Bestimmung.
Nicht-senkrechte Asymptoten und deren Abhängigkeit von Zähler- und Nennergrad
Wenn man die nicht-senkrechten Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmen möchte, muss man im Grunde nur den Zählergrad mit dem Nennergrad vergleichen:
| Vergleich | Art der Asymptote |
|---|---|
| Zählergrad $\leq$ Nennergrad | waagerechte Asymptote |
| Zählergrad $=$ Nennergrad + 1 | schräge Asymptote |
| Zählergrad $\geq$ Nennergrad + 2 | kurvenförmige Asymptote (bzw. asymptotische Kurve) |
Waagerechte Asymptote berechnen
Bei waagerechten Asymptoten unterscheidet man noch einmal zwischen zwei Fällen:
- Zählergrad $<$ Nennergrad $\qquad \Rightarrow \qquad$ waagerechte Asymptote bei $y = 0$
- Zählergrad $=$ Nennergrad $\qquad \Rightarrow \qquad$ waagerechte Asymptote bei $y = \frac{p_n}{q_m}$
Im ersten Fall bildet die $x$-Achse die Asymptote. Im zweiten Fall sind $p_n$ und $q_m$ die Koeffizienten vor der jeweils größten Potenz des Zählers bzw. Nenners.
Beispiel 1:
Sei $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$.
In diesem Beispiel müssen wir im Grunde nichts weiter tun, als anzugeben, dass der Zählergrad (hier: $0$) kleiner als der Nennergrad (hier: $2$) ist und daraus schlussfolgern, dass die $x$-Achse die waagerechte Asymptote darstellt:
0 = $grad(Z) < grad(N) = 2 \qquad \Rightarrow \qquad$ waagerechte Asymptote $y=0$.
Beispiel 2:
Sei $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2 - 4}{3x^2+5}$.
In diesem Beispiel sieht das schon etwas anders aus. Wir erkennen folgendes:
2 = $grad(Z) ~ = ~ grad(N) = 2 \qquad \Rightarrow \qquad$ waagerechte Asymptote bei $\frac{p_n}{q_m} = \frac{2}{3}$.
Die gebrochen-rationale Funktion in diesem Beispiel hat also auch eine waagerechte Asymptote bei $y = \frac{2}{3}$.
Schräge und kurvenförmige Asymptote berechnen
Wie bereits angedeutet, lässt sich die Funktionsgleichung einer schräger bzw. kurvenförmigen Asymptote mittels einer Polynomdivision berechnen. Hierzu teilt man einfach das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom.
Bestimmung der Asymptoten mittels Polynomdivision
Führt man zur Bestimmung einer Asymptoten eine Polynomdivision durch, so erhält man im Ergebnis einen ganzrationalen Term sowie einen gebrochen-rationalen Term. Beide haben eine unterschiedliche Bedeutung:
- Der ganzrationale Teil des Ergebnisses liefert uns die Gleichung der Asymptote.
- Der gebrochen-rationale Teil des Ergebnisses wiederum gibt uns die Möglichkeit, zu untersuchen, wie sich der Funktionsgraph der Asymptoten im Unendlichen annähert bzw. an diese anschmiegt.
Beispiel 3: schräge Asymptote berechnen
Sei $\displaystyle f(x)=\frac{x^2 -3x}{x-1}$.
Wir bestimmen die Funktionsgleichung der Asymptote mittels Polynomdivision.
Abb. 7: Graph mit schräger Asymptote: $y=x-2$
Beispiel 4: kurvenförmige Asymptote berechnen
Mit kurvenförmigen Asymptoten verfährt man auf dieselbe Weise. Im Ergebnis erhält man jedoch mindestens ein Polynom vom Grad 2 oder höher.
Sei $\displaystyle f(x)=\frac{x^3 - x^2 + 2x - 1,5}{x-1}$.
Zwischenfazit
Grenzverhalten
Grenzverhalten gebrochen-rationaler Funktionen
Um das Grenzverhalten des Funktionsgraphen zu bestimmen, wenden wir den Limes auf die Funktionsgleichung der Asymptoten an:
$lim_{x \to \pm \infty} f(x) = lim_{x \to \pm \infty} a(x)$, wobei $a(x)$ für die Funktionsgleichung der Asymptote steht.
Beispiel:
Wir bestimmen das Grenzverhalten der Funktionsgraphen aus den Beispielen zuvor:
- $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$
- $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3x}{x-1}$
- $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3x-1}{x-4}$
Übung macht den Meister
Aufgabe1 (Üben und Vertiefen)
Untersuchen Sie die folgenden gebrochen-rationalen Funktionen auf Asymptoten und ihr Grenzverhalten.
- $\displaystyle f_1(x)=\frac{2x^2+3x}{4x^2-4}$
- $\displaystyle f_2(x)=\frac{0,5x^2+2x+3}{x+2}$