Terme und Gleichungen
Mit Hilfe der Aufgaben auf dieser Seite kannst du dein Können im Zusammenhang mit Termen und Gleichungen verfestigen bzw. auffrischen.
Multiplikation von Summentermen: Distributivgesetz
Man kann Summen bzw. Differenzen mit einem Term multiplizieren, indem man jedes einzelne Glied der Summe bzw. der Differenz jeweils mit jedem anderen Glied des anderen Terms multiplizierst. Hierbei wendet man das sogenannte Distributivgesetz an.
Merke dir:
Werden zwei Summenterme miteinander multipliziert, dann gilt: $$ (a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$$
Aufgabe1 (
Bettermarks)
Ausklammern
Beim Ausklammern wird das Distributivgesetz “rückwärts” angewendet. Wenn die einzelnen Glieder einer Summe bzw. Differenz gleiche Faktoren enthalten, kannst du diese Summe bzw. Differenz in ein Produkt umwandeln. Du dividierst die einzelnen Glieder durch den gemeinsamen Faktor, klammerst die Summe bzw. Differenz der Ergebnisse ein und schreibst den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.
Aufgabe2 (Bettermarks)
Rechnen mit Potenzen
Merke dir:
Die folgenden Potenzgesetze sind sehr wichtig. Deshalb solltest du sie dir gut merken:
- Multiplikation von Potenzen: $a^b \cdot a^c = a^{b + c}$
- Division von Potenzen: $a^b : a^c = \frac{a^b}{a^c} = a^{b - c}$
- Potenzen potenzieren: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$
- Potenzen mit dem Exponenten Null: $x^0 = 1$
- Potenzen mit hoch Eins: $x^1 = x$
- Potenzen mit negativem Exponent: $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$
Das reicht dir als Erklärung noch nicht? Dann schau dir hier ein Video dazu an:
Aufgabe3 (Bettermarks)
QC37"Terme mit Potenzen und Klammern vereinfachen"P7EB"Potenzen als Produkt schreiben und berechnen"XU9C"Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren"QFJ8"Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen Exponenten multiplizieren"WB8Y"Potenzen mit gleicher Basis dividieren"RDQC"Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen Exponenten dividieren"JW9Y"Potenzen von Potenzen berechnen"PEFG"Potenzen von Potenztermen berechnen"3GC4"Potenzen von Produkttermen vereinfachen"612W"Wurzeln in Potenzen umwandeln"
Einfache lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Einfache Gleichungen lassen sich durch Anwendung entsprechender Rechengesetze lösen. Dieses Vorgehen nennt man Äquivalenzumformung bzw. äquivalentes Umformen.
Merke dir:
Eine Äquivalenzumformung ist eine mathematische Operation, die eine Gleichung oder Ungleichung so verändert, dass ihre Lösungsmenge unverändert bleibt.
Merke dir:
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit einer Unbekannten ist entweder leer, enthält genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
Aufgabe4 (Bettermarks)
Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
Aufgabe5 (Bettermarks)
Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen können die unterschiedlichsten Formen annehmen. Je nachdem, welche dieser Formen vorliegt, kommen verschiedene Lösungsverfahren in Frage.
Lösen durch Wurzelziehen
Merke dir:
Gleichungen der Form $x^2-a=0$ mit $a>0$ lassen sich durch Umstellen und einfaches Wurzelziehen lösen. $$x^2-a=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x^2 = a \qquad \Leftrightarrow \qquad x_{1/2} = \pm \sqrt{a}$$
Aufgabe6 (Bettermarks)
Lösen durch Ausklammern und Nullproduktregel
Merke dir:
Gleichungen der Form $x^2 + cx=0$ lassen sich durch Ausklammern und anschließendes Anwenden der Nullproduktregel lösen. $$x^2 + cx = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \cdot (x + c)= 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 0 \quad \lor \quad x_2 = -c $$
Aufgabe7 (Bettermarks)
Lösen durch Anwenden der p-q-Formel
Merke dir:
Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$ lassen sich mit Hilfe der p-q-Formel lösen.
Die p-q-Formel lautet:
$$x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
Aufgabe8 (Bettermarks)
Exkurs: abc-Formel und Satz von Vieta
Neben der pq-Formel gibt es auch weitere Lösungsverfahren. Die sogenannte abc-Formel (manchmal auch als Mitternachtsformel bezeichnet) sowie der Satz von Vieta eignen sich ebenfalls zum Lösen quadratischer Gleichungen.
Rechercheaufgabe:
Rechercheaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese beiden Aufgaben eignen sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.