Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen begegnen dir öfter, als du vielleicht denkst. Wenn du einen Ball wirfst, eine Brücke anschaust oder eine Satellitenschüssel siehst, steckt dahinter oft eine besondere Kurve – die sogenannte Parabel.
Der Graph einer quadratischen Funktion - Die Parabel
Als Parabel wird der Graph einer quadratischen Funktion bezeichnet. Parabeln sind entweder nach unten oder nach oben geöffnet und sind dabei immer charakteristisch wie ein Bogen geformt.
Den Tiefpunkt bzw. Hochpunkt einer solchen bogenförmigen Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) hat immer die Form $f(x)=ax^2+bx+c$.
Die einfachste Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ wird als Normalparabel bezeichnet.
Symmetrieeigenschaft und Scheitelpunkt quadratischer Funktionen
Eine Parabel ist achsensymmetrisch. Ihre Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft und parallel zur y-Achse liegt. Das bedeutet, dass die linke und rechte Seite der Parabel, wenn man sie entlang dieser Achse spiegelt, perfekt übereinstimmen. Man könnte sie sozusagen entlang dieser Symmetrieachse falten, sodass anschließend beide Seiten übereinander liegen.
Der Streckfaktor
Den Strekfaktor einer Parabel kann man ganz einfach ablesen: Er ist der Parameter $a$ vor dem $x^2$, wenn $f(x)=ax^2$ ist. Der Streckfaktor $a$ bestimmt dabei die Form der Parabel. Man spricht hierbei entweder von Streckung oder Stauchung.
Merke dir:
Ob eine Parabel gestreckt oder gestaucht ist, erkennst du am Vorfaktor $a$:
- $a = 1$ oder $a = -1 \Rightarrow $ der Graph ist genauso breit wie die Normalparabel
- $a > 1$ oder $a < -1 \Rightarrow $ die Parabel ist gestreckt
- $-1 < a < 1 \Rightarrow $ die Parabel ist gestaucht
Verschiebung der Normalparabel entlang der $y$-Achse
Zurück zur allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$. Um den Streckfaktor $a$ haben wir uns bereits gekümmert. Wofür stehen allerdings $b$ und $c$?
Vorab: Der Parameter $b$ hat keinen sichtbaren Einfluss auf die Lage der Parabel. Der Parameter $c$ beeinflusst jedoch, wie weit die Parabel nach oben oder nach unten verschoben wird.
Die Scheitelpunktform
Neben der allgemeinen Form einer Parabel $f(x)=ax^2+bx+c$ werden Parabeln häufig auch in der sogenannten Scheitelpunktform dargestellt. Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt - und somit im Grunde alle wichtigen Eigenschaften einer Parabel - besonders leicht ablesen.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $$ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $$ wobei $x_s$ und $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(x_s|y_s)$ sind.
Verschiebung einer Parabel entlang der $x$- und $y$-Achse
Betrachten wir die quadratische Funktion $f(x)=3(x-4)^2+5$.
Wir erkennen zunächst einmal, dass die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegt. Das heißt, dass sich die Koordinaten des Scheitelpunkts somit direkt ablesen lassen: $S(4|5)$.
Was heißt das nun?
Die Parabel wurde also um $4$ Einheiten nach rechts sowie um $5$ Einheiten nach oben verschoben.
Außerdem lässt sich noch erkennen, dass die Parabel um den Faktor $3$ gestreckt wird.s
Merke dir:
Ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $ gegeben, so bestimmt $x_s$ die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $x$-Achse. $y_s$ wiederum bestimmt die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $y$-Achse.
- $x_s > 0 \Rightarrow $ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in positive $x$-Richtung (nach rechts)
- $x_s < 0 \Rightarrow $ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in negative $x$-Richtung (nach links)
- $x_s = 0 \Rightarrow $ der Scheitelpunkt liegt auf der $y$-Achse
- $y_s > 0 \Rightarrow $ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in positive $y$-Richtung (nach oben)
- $y_s < 0 \Rightarrow $ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in negative $y$-Richtung (nach unten)
- $y_s = 0 \Rightarrow $ der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
Die drei Darstellungsformen
Je nachdem, was man bestimmen möchte, eignen sich die drei Darstellungsformen – die allgemeine Form, die Scheitelpunktform sowie die Linearfaktorform – einer quadratischen Funktion auf unterschiedliche Art und Weise.
Tüftelaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.
Nullstellen quadratischer Funktionen - Lösen quadratischer Gleichungen
Merke dir:
Je nach Position des Scheitelpunkts kann der Graph einer quadratischen Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
- die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse $\Rightarrow$ keine Nullstelle
- die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse $\Rightarrow$ keine Nullstelle
- der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse $\Rightarrow$ eine Nullstelle
- die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse $\Rightarrow$ zwei Nullstellen
- die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse $\Rightarrow$ zwei Nullstellen
Beobachtungsauftrag:
Die beiden Videos beschäftigen sich mit dem Bestimmen von Nullstellen quadratischer Funktionen - mit und ohne p-q-Formel.
Zur Erinnerung:
Wie genau das mit dem Ausklammern, dem Satz vom Nullprodukt und der p-q-Formel funktioniert, ist bereits im Abschnitt Terme und Gleichungen beschrieben.
Schnittpunkte von Parabel und Gerade
Beobachtungsauftrag:
Aufgabe1 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils die Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
Quelle: mathe-total.de (letzter Aufruf: 13.08.2025)
Lösungen
Schnittpunkte von zwei Parabeln
Beobachtungsauftrag:
Aufgabe2 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
Quelle: matheportal.com (letzter Aufruf: 13.08.2025)