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Binomische Formeln

Info:

Die binomischen Formeln sind weit verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Mit Binomen (deutsch: “zwei Namen”) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind.[^1]

Die binomischen - nicht bionomischen (!) - Formeln sind besonders nützlich, wenn man mit Termen arbeitet, die Klammern enthalten. Sie können die Berechnung vereinfachen, anstatt die Klammern aufwendig auszumultiplizieren.

Aufgabe1 (Bettermarks)

  2. QGUG "Mit der ersten binomischen Formel ausmultiplizieren"
  4. 8QCA "Mit der ersten binomischen Formel als Produkt schreiben"
  6. 2FTP "Mit der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren"
  8. JBDB "Mit der zweiten binomischen Formel als Produkt schreiben"
  10. CRUV "Mit der dritten binomischen Formel ausmultiplizieren"
  12. BJD1 "Mit der dritten binomischen Formel als Produkt schreiben"
Hinweis: Damit die Links funktionieren, musst du bei bettermarks eingeloggt sein.

Aufgabe2 (Binomische Formeln anwenden)

Wende auf die folgenden Terme die binomischen Formeln an.

  1. $(2x-5)^2$
  2. $(10 - a)\cdot(10 + a)$
  3. $(2m + 2)^2$
  4. $(3uv+1)^2$
  5. $(5b+7)^2$
  6. $(4x-9y)^2$
  7. $(8 + f)\cdot(8 - f)$
  8. $(1 + i)\cdot(i - 1)$
Lösungen

  1. $(2x-5)^2 = 4x - 20x + 25$
  2. $(10 - a)\cdot(10 + a) = 100 - a^2$
  3. $(2m + 2)^2 = 4m^2 + 8m + 4$
  4. $(3uv+1)^2 = 9u^2v^2 + 6uv + 1$
  5. $(5b+7)^2 = 25b^2 + 70b + 49$
  6. $(4x-9y)^2 = 16x^2 - 72xy + 81y^2$
  7. $(8 + f)\cdot(8 - f) = 64 - f^2$
  8. $(1 + i)\cdot(i - 1) = i^2 - 1$

Aufgabe3 (Binomische Formeln rückwärts anwenden)

Schreibe die folgenden Terme als binomische Formel.

  1. $64x^2 - 36$
  2. $25z^2 + 40zy + 16y^2$
  3. $100a^2 - 60ab + 9b^2$
  4. $256 - 25f^2$
  5. $80u + 64u^2 + 25$
  6. $-56ab + 49b^2 + 16a^2$
Lösungen

  1. $64x^2 - 36 = (8x-6) \cdot (8x + 6)$
  2. $25z^2 + 40zy + 16y^2 = (5z + 4y)^2$
  3. $100a^2 - 60ab + 9b^2 = (10a + 3b)^2$
  4. $256 - 25f^2 = (16 - 5f) \cdot (16+5f)$
  5. $80u + 64u^2 + 25 = (8u + 5)^2$
  6. $-56ab + 49b^2 + 16a^2 = (7b - 4a)^2 = (4a - 7b)^2$

Hilfe gefällig?

Solltest du damit Schwierigkeiten bekommen, dann schaue dir dazu das nachfolgende Video an.


Herleitung der Binomischen Formeln

Die Binomischen Formeln sind nicht einfach vom Himmel gefallen, sondern lassen sich graphisch herleiten.

Tüftelaufgabe:

Leite die drei binomischen Formeln graphisch her.
Tipp:

Stelle dir vor, was die binomischen Formeln jeweils geometrisch gesehen bedeuten könnten.

Kurzvortrag gefällig?

Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.

Quadratische Ergänzung

Schonmal gehört?

Die Quadratische Ergänzung benötigst du unter anderem, um die Funktionsvorschrift einer quadratischen Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln.

Tüftelaufgabe:

Finde durch – z. B. durch eine entsprechende Recherche oder durch Ausprobieren – heraus, wie man überpüfen kann, ob ein Punkt oberhalb oder unterhalb des Graphen einer Funktion liegt. Fertige dir entsprechende Notizen an.

Kurzvortrag gefällig?

Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.

Davor
Quadratische Funktionen
Danach
Lineare Gleichungssysteme