Wendepunkte bestimmen
Unsere Beispielfunktion hat zwei Extrema – einen Hoch- und einen Tiefpunkt – und somit zwei Stellen, an denen die Steigung des Funktionsgraphen Null ist. Dazwischen gibt es eine Stelle, an der die Steigung extremal (d.h. minimal oder maximal) ist. Solche Stellen bzw. Punkte bezeichnet man als Wendestellen bzw. -punkte.
Abb. 1: Wendepunkt des Funktionsgraphen gesucht
Was sind Wendepunkte?
In einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen von $f(x)$ von $+$ nach $-$ (Links-Rechts-Wendestelle) oder von $-$ nach $+$ (Rechts-Links-Wendestelle).
Der Bergsteiger-Vergleich
Um (besser) zu verstehen, was das Krümmungsverhalten bedeutet, hier ein Vergleich. Hierbei solltest du folgendes wissen:
- “die Steigung nimmt zu” $\quad \Leftrightarrow \quad$ Linkskrümmung $(+)$
- “die Steigung nimmt ab” $\quad \Leftrightarrow \quad$ Rechtskrümmung $(-)$.
Vergleich #1: Der Bergsteiger-Vergleich
Stell dir vor, der Funktionsgraph stellt das Höhenprofil eines Geländes dar und du wanderst dieses entlang. Nachdem du den tiefsten Punkt passiert hast, (du befindest dich jetzt also rechts vom Tiefpunkt) nimmt die wieder Steigung zu – es geht also wieder bergauf. Ehe du den höchsten Punkt erreicht hast, (du dich also links vom Hochpunkt befindest) nimmt die Steigung jedoch wieder ab – da es ansonsten ja immer weiter bergauf gehen würde. Das bedeutet, dass es dazwischen folglich eine Stelle geben muss, an der die Steigung am größten ist.
Der Rennstrecken-Vergleich
Alternativ bietet sich aber auch der folgende Vergleich an:
Vergleich #2: Was das Krümmungsverhalten mit Autofahren zu tun hat?
Stell dir vor, du schaust von oben herab auf den Funktionsgraphen und fährst mit einem Auto die vorgegebene Rennstrecke entlang.
Forschungsauftrag:
Um den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Krümmung anhand dieses Vergleichs (besser) zu verstehen, teste ihn mit Hilfe der nachfolgenden GeoGebra-Aktivität selbst aus.
- Verschiebe den Schieberegler von links nach rechts und beobachte, wie sich die Stellung des Lenkrads verändert.
- Erkläre den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Krümmung, indem du dir Besonderheiten notierst, die dir hinsichtlich der Stellung des Lenkrads an bestimmten Stellen bzw. Bereichen des Funktionsgraphen auffallen.
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/g7gucfdz
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In bestimmten Bereichen fährst du eine Linkskurve (Steigung $+ \Rightarrow $ Linkskrümmung), in wiederum anderen Bereichen eine Rechtskurve (Steigung $- \Rightarrow$ Rechtskrümmung). Dazwischen gibt es jeweils einen kurzen Moment, in dem du das Lenkrad in keine der beiden Richtungen eingeschlagen hast (Steigung $=0$) und somit gerade hältst.
$\Rightarrow$ Genau an dieser Stelle befindet sich der Wendepunkt.
Wendepunkte bestimmen – so geht’s
Schritt 1
Zunächst bestimmen wir die Funktionsgleichung der zweiten und dritten Ableitung.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Wir bestimmen also zunächst die Funktionsgleichungen der zweiten und dritten Ableitung:
- $f’’(x)=1,2x-2,8$
- $f’’’(x)=1,2$.
Schritt 2
Als nächstes widmen wir uns der sogenannten notwendigen Bedingung für Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für Wendepunkte
Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung $f’’(x)$ an dieser Stelle gleich Null ist – weshalb man $f’’(x) = 0$ setzt –, da die Steigung an dieser Stelle extremal ist und somit die Veränderung der Steigung gleich Null.
Wenn man die Wendestellen des Funktionsgraphen herausfinden möchte, sucht man – anders als bei Extrempunkten – nach denjenigen Stellen, an denen der Graph der Ableitung eine waagerechte Tangente besitzt. Daher bestimmt man in diesem Fall die Nullstellen der zweiten Ableitung.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Um die Wendestellen zu ermitteln, bestimmen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung:
$\begin{aligned} f’’(x)&=0 & \vert \text{ notw. Bed.}\\ \Leftrightarrow 1,2x-2,8&=0 & \vert +2,8 \\ \Leftrightarrow 1,2x&=2,8 & \vert :1,2 \\ x &\approx 2,33 \end{aligned}$
Wir wissen nun, dass der Funktionsgraph an der Stelle $x_0 \approx 2,33$ einen Wendepunkt besitzt.
Schritt 3
Um zu überprüfen, welche Art von Wendepunkt vorliegt, nutzt man nun die hinreichende Bedingung für Wendepunkte.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte
Zur Überprüfung, welche Art von Wendepunkt jeweils vorliegt, wird die dritte Ableitung $f’’’(x)$ herangezogen und die jeweilige Wendestelle $x_0$ eingesetzt:
- Ist $f’’’(x_0) < 0$, so liegt eine Links-Rechts-Wendestelle vor,
- ist $f’’’(x_0) > 0$, so handelt es sich um eine Rechts-Links-Wendestelle.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Wir überprüfen nun also die Wendestelle mit der dritten Ableitung:
$\begin{aligned} f’’’(x) &= 1,2 \\ f’’’(2,33) &= 1,2 > 0 \\ & \Rightarrow \text{R-L-Wendestelle} \end{aligned}$
Schritt 4
Zu guter Letzt berechnet man die noch fehlende $y$-Koordinate des Wendepunkts und gibt den Wendepunkt an.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
$f(2,33)=0,2 \cdot 2,33^3 - 1,4 \cdot 2,33^2 + 7,2 = 2,12$
Wir kennen nun also auch die genauen Koordinaten des Wendepunkts $(2,33|2,12)$.
Abb. 2: Wendepunkt des Funktionsgraphen
Zum Verständnis
- Die Funktionsgleichung $f(x)$ liefert den passenden Funktionswert zu jedem $x$-Wert.
- Die Nullstellen der ersten Ableitung liefern uns diejenigen Stellen, an denen der Funktionsgraph Extrempunkte besitzt – sprich: an denen der Funktionswert extremal (d. h. entweder minimal oder maximal) ist.
- Die erste Ableitung $f’(x)$ liefert uns die Steigung des Funktionsgraphen.
- Somit liefert uns die zweite Ableitung $f’’(x)$ – welche man auch als die erste Ableitung der ersten Ableitung bezeichnen könnte – diejenigen Stellen des Funktionsgraphen, an denen die Steigung extremal ist.
Unterschied zwischen Extrem- und Wendepunkten
Ein Extrempunkt ist derjenige Punkt, in dem der Graph den kleinsten bzw. größten Funktionswert besitzt.
Ein Wendepunkt ist derjenige Punkt, in dem der Graph die kleinste bzw. größte Steigung besitzt.