Vollständige Kurvendiskussion
In diesem Abschnitt lernst du Schritt für Schritt einer vollständigen Funktionsuntersuchung kennen. Einzelne davon hast du bereits in den vorherigen Abschnitten kennengelernt. Diese werden nun durch weitere Aspekte ergänzt.
- Definitionsbereich
- Achsenschnittpunkte
- Symmetrieeigenschaft
- Extrempunkte
- Wendepunkte
- Globalverhalten
- Skizze
Damit du all diese Schritte anschaulich nachvollziehen kannst, führen wir in diesem Abschnitt eine vollständige Kurvendiskussion anhand eines Beispiels durch.
Beispiel
Nachfolgend betrachten wir beispielhaft die Funktion $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$ und führen eine vollständige Kurvendiskussion durch.
1. Definitionsbereich
Zur vollständigen Beschreibung einer Funktion – wie das bei den gleichnamigen “vollständigen Kurvendiskussionen” der Fall ist – gehört die Angabe des Definitionsbereichs. Diesen bestimmt man, da es nur innerhalb dieses Bereiches sinnvoll ist, Untersuchungen über die Eigenschaften jener Funktion anzustellen.
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich einer Funktion $f$ – geschrieben: $\mathbb{D}(f)$ – ist die Menge aller $x$-Werte, für die die Funktion definiert ist.
Umgangssprachlich ausgedrückt umfasst der Definitionsbereich alle $x$-Werte (Argumente), die man in die Funktion einsetzen darf. Je nach Funktionsgleichung gibt es dafür Einschränkungen.
Hinweis:
Im Allgemeinen gilt: $\mathbb{D}(f) = \mathbb{R}$.
Oder anders ausgedrückt: Man darf alle reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) in die Funktionsgleichung einsetzen.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 + 7,2$
Auch bei der Funktion aus unserem Beispiel gilt:
$\mathbb{D}(f) = \mathbb{R}$.
Warum? Es gibt keine Einschränkungen, was man für $x$ einsetzen kann. Egal, was man einsetzt – alle mathematischen Rechenregeln bleiben erfüllt.
Wie bereits angedeutet, gibt es jedoch auch Funktionen, bei denen dies nicht der Fall ist. Nachfolgend findest du beispielhaft zwei solcher Funktionen:
Achtung: Ausnahmen!
Wurzelfunktionen wie z.B. $f(x) = \sqrt{x}$:
- Vielleicht erinnerst du dich an folgende Regel: Aus einer negativen Zahl kann man im Bereich der reellen Zahlen nur dann eine Wurzel ziehen, wenn der Wurzelexponent ungerade ist. Ist der Wurzelexponent gerade (wie das bei der Quadratwurzel $\sqrt{}$ der Fall ist), ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert.
- Es gilt deshalb $\mathbb{D}(f) = \mathbb{R}_0^+$.
- Umgangssprachlich ausgedrückt: Man darf alle positiven Zahlen inklusive der Null einsetzen.
gebrochen-rationale Funktionen wie bspw. $f(x) = \frac{1}{x}$:
- Durch Null zu teilen ist in der Mathematik nicht möglich und nicht definiert, da es widersprüchliche und nicht eindeutige Ergebnisse liefern würde.
- Deshalb gilt: $\mathbb{D}(f) = \mathbb{R}\backslash {0}$.
- Umgangssprachlich ausgedrückt: Man darf alle Zahlen (egal ob positiv oder negativ) außer der Null einsetzen.
2. Achsenschnittpunkte
Wenn geklärt ist, wie der Definitionsbereich der Funktion lautet, dann überprüft man den Graphen der Funktion zunächst auf dessen Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen:
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Eine Funktion kann nur einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse haben – auch $y$-Achsenabschnitt genannt. Dies ist aber nicht zwingend der Fall. Es gibt nämlich auch Funktionen, bei denen dies nicht der Fall ist. Ein Beispiel für eine solche (gebrochen-rationale) Funktion, ist die Funktion $f(x)=\frac1x$. Sie besitzt keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.Schnittpunkte mit der x-Achse:
Man spricht hierbei von den sog. Nullstellen einer Funktion. Anders als bei der Begrifflichkeit Schnittpunkt bezeichnet eine Nullstelle lediglich den $x$-Wert (Stelle) eines Schnittpunkts mit der $x$-Achse. Alle Schnittpunkte mit der $x$-Achse haben die Form $(x_i|0)$, wobei $x_i$ hier repräsentativ für alle Nullstellen der Funktion steht.
Wie bestimmt man die Achsenschnittpunkte?
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Hierfür setzt man $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:
$f(0)$ $\quad \Rightarrow P(0|f(0))$.
Heißt: Überall dort, wo $x$ in der Funktionsgleichung auftaucht.Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
Hierfür setzt man die Funktionsgleichung gleich Null ($f(x) = 0$) und bestimmt alle Nullstellen $x_i$ $\quad \Rightarrow (x_i|0)$.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
- Den $y$-Achsenabschnitt erhält man, indem man entweder $f(0)$ bestimmt oder einfach das Absolutglied der Funktionsgleichung abliest: $7,2$.
$f(x)=0,2 \cdot 0^3 - 1,4 \cdot 0^2 + 7,2 \quad \Rightarrow S_y(0|7,2)$. - In diesem Fall bestimmt man die Nullstellen der Funktionsgleichung, indem man zuerst eine Polynomdivision durchführt und anschließend die pq-Formel anwendet:
$\Rightarrow x_1=-2, \quad x_2=3, \quad x_3=6$.
Auf der nachfolgenden Abbildung sind alle Achsenschnittpunkte des Graphen aus unserem Beispiel abgebildet.
Abb. 1: Achsenschnittpunkte des Funktionsgraphen
3. Symmetrieeigenschaft
Symmetrieeigenschaft einer Funktion
Die Symmetrieeigenschaft einer Funktion beschreibt, ob ihr Graph bei einer Spiegelung oder einer Drehung unverändert bleibt.
Man unterscheidet dabei zwischen zwei Haupttypen von Symmetrie:
- Achsensymmetrie (siehe grüner Graph):
- Spiegelung an einer Achse (meist der $y$-Achse)
- Notation: $f(x) = f(-x)$
- Punktsymmetrie (roter Graph):
- Spiegelung an einem Punkt (meist dem Koordinatenursprung)
- Notation: $f(-x) = -f(x)$.
Bei ganzrationalen Funktionen kann die Symmetrie schnell und einfach durch Betrachtung der Exponenten des Funktionsterms bestimmt werden. Dabei betrachtet man lediglich, ob sie gerade oder ungerade sind:
Welche Symmetrieeigenschaft liegt vor?
- Hat eine Funktionsgleichung nur gerade Exponenten, so liegt eine Achsensymmetrie vor.
- Hat eine Funktionsgleichung ausschließlich ungerade Exponenten, so handelt es sich um eine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
In diesem Fall liegt weder eine Achsensymmetrie noch eine Punktsymmetrie vor, da die Funktionsgleichung sowohl ungerade ($x^3$) als auch gerade Exponenten ($x^2$ und $x^0$) enthält.
Sprich: Der Graph von $f$ ist nicht symmetrisch.
Formaler Nachweis der Symmetrieeigenschaft
Formal kann man dies wie folgt nachweisen:
- Gilt $f(-x) = f(x)$, so liegt eine Achsensymmetrie vor.
- Gilt $f(-x) = -f(x)$, so liegt eine Punktsymmetrie vor.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Formal weist man dies wie folgt nach:
- Zunächst bildet man $f(-x)$:
$f(-x) = 0,2 \cdot (-x)^3 - 1,4 \cdot (-x)^2 + 7,2 = -0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$ - Nun vergleicht man $f(-x)$ mit $f(x)$:
$f(-x) = -0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2 \neq 0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2 = f(x)$
Da $f(x) \neq f(-x)$ gilt, haben wir nachgewiesen, dass keine Achsensymmetrie vorliegt.
Da zusätzlich $f(-x) \neq -f(x)$ gilt, liegt außerdem keine Punktsymmetrie vor.
Der Funktionsgraph von $f$ ist also nicht symmetrisch.
4. Extrempunkte
Wie man Extrempunkte bestimmt, hast du bereits im Abschnitt “Extrempunkte bestimmen” kennengelernt. Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie das geht, schaue dir diesen Abschnitt noch einmal an.
5. Wendepunkte
Dasselbe gilt auch für Wendepunkte. Wie man diese bestimmt, kannst du im Abschnitt “Wendepunkte bestimmen” nachlesen.
6. Globalverhalten
Globalverhalten
Unter dem Globalverhalten einer Funktion versteht man auch die Untersuchung der Randpunkte des Definitionsbereiches. Man untersucht sozusagen, in welche Richtung sich der Funktionsgraph bewegt, wenn die $x$-Werte unendlich groß ($x \rightarrow +\infty$) oder unendlich klein ($x \rightarrow -\infty$) werden.
Im Falle von ganzrationalen Funktionen sagt man, der Graph verläuft
- ins positiv Unendliche ($+\infty$) oder
- ins negativ Unendliche ($-\infty$).
Ist der Definitionsbereich nicht beschränkt – was bspw. bei der Funktion $f(x)=\frac1x$ der Fall wäre –, dann sind lediglich die beiden folgenden Grenzwerte zu bestimmen:
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ und
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$.
Bei ganzrationalen Funktionen betrachtet man dazu lediglich die höchste Potenz, da diese allein das Grenzverhalten bestimmt.
Hinweis:
Es gibt auch Beispiele, in denen sich der Funktionsgraph (von oben oder unten) einem bestimmten Wert annähert – wie z.B. der $0$ im Falle von $f(x)=\frac1x$.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Wir betrachten nur die höchste Potenz von $f(x)$, sprich: $0,2 \cdot x^3$ und bestimmen die beiden Grenzwerte:
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 0,2 \cdot x^3 = 0,2 \cdot (+\infty)^3 = +\infty$:
Eine positive Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert ergibt wieder eine positive Zahl. Multipliziert man diese anschließend mit $0,2$, was wiederum eine positive Zahl ist, so erhält man wiederum eine positive Zahl: $+\infty$. - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 0,2 \cdot x^3 = 0,2 \cdot (-\infty)^3 = -\infty$
Eine negative Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert ergibt wieder eine negative Zahl. Multipliziert man diese anschließend mit einer positiven Zahl ($0,2$), so erhält man wiederum eine negative Zahl: $-\infty$.
7. Skizze
Schlussendlich bietet es sich an, eine Skizze des Graphen anzufertigen (vgl. Abbildung 4). Hierzu ist weder eine genaue Zeichnung noch das Erstellen einer Wertetabelle erforderlich. Auf Basis der vorangegangenen Untersuchungspunkte lässt sich der Graph der Funktion bereits sehr gut und reduziert auf seine wesentlichen Merkmale bzw. Punkte skizzieren.
Abb. 4: Finale Skizze des Funktionsgraphen mit allen Punkten
Fazit - Zusammenhang zwischen Ausgangsfunktion und den Ableitungsfunktionen
In Abbildung 8 wird noch einmal der Zusammenhang zwischen Ausgangsfunktion, 1. Ableitung und 2. Ableitung aufgezeigt: Abb. 5: Funktionsgraph und Ableitungen
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