Extrempunkte bestimmen
Die Extrempunkte einer Funktion sind diejenigen Punkte des Funktionsgraphen, an denen der höchste Punkt (Hochpunkt/Maximum) oder der tiefste Punkt (Tiefpunkt/Minimum) in einer lokalen Umgebung erreicht wird.
Was sind Extrempunkte?
Man unterscheidet bei Extrempunkten – oft auch Extrema genannt – zwischen Hochpunkten und Tiefpunkten:
- Hochpunkt (Maximum): Ein Punkt auf dem Graphen, an dem die Funktion lokal am höchsten ist. Der Graph steigt davor an und fällt danach wieder.
- Tiefpunkt (Minimum): Ein Punkt auf dem Graphen, an dem die Funktion lokal am tiefsten ist. Der Graph fällt davor und steigt danach wieder an.
Schritt 1
Zunächst bildet man die ersten zwei Ableitungen der gesuchten Funktion. Wenn dir die Ableitungsregeln nicht mehr bekannt sind, dann wirf noch einmal einen Blick in das Kapitel “Grundlagen der Differentialrechnung” auf die Seite “Erste Ableitungsregeln”.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Erste Ableitung:
$f’(x)=0,6x^2-2,8x$
Zweite Ableitung:
$f’’(x)=1,2x-2,8$
Schritt 2
Als nächstes kümmern wir uns um die sogenannte notwendige Bedingung:
Notwendige Bedingung für Extrempunkte
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle einer differenzierbaren Funktion ist, dass die erste Ableitung ($f’(x)$) an dieser Stelle gleich Null ist ($f’(x) = 0$), da die Tangente an dieser Stelle waagerecht ist (und ihre Steigung somit Null ist).
In Abbildung 4 sind diejenigen Stellen des Funktionsgraphen markiert, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt:
Abb. 1: Extrema und waagerechte Tangente
Um diejenigen Stellen bestimmen zu können, an denen die Tangente waagerecht ist, müssen wir also gemäß der notwendigen Bedingung die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.
Bedeutung der ersten Ableitung
Die erste Ableitung einer Funktion $f(x)$ – bezeichnet als $f’(x)$ – gibt die momentane Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle an.
Sie beschreibt die lokale Änderungsrate und ermöglicht die Berechnung, wie steil der Graph in jedem Punkt ist. Dies ist für die Ermittlung von Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) wichtig und für das Verständnis des Verhaltens des Funktionsgraphen (ob dieser steigend oder fallend ist) entscheidend.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Zur Erinnerung:
$f’(x)=0,6x^2-2,8x$
Notwendige Bedingung:
$\begin{aligned} &&f’(x) &=0 \\ \Leftrightarrow &&0,6x^2-2,8x &= 0 \\ \Leftrightarrow &&x \cdot (0,6x-2,8) &= 0 \end{aligned}$
$\Rightarrow x_1=0, \quad 0,6x_2-2,8=0 \\ \Leftrightarrow x_1=0, \quad x_2 \approx 4,67$
Wir wissen nun, dass der Funktionsgraph an den Stellen $x_1=0$ und $x_2 \approx 4,67$ eine waagerechte Tangente besitzt und somit an diesen Stellen Extrempunkte vorliegen können.
Schritt 3
Um zu überprüfen, welche Art von Extrempunkt vorliegt, nutzt man nun die hinreichende Bedingung von Extremstellen.
Hinreichende Bedingung
Zur Überprüfung, welche Art von Extrempunkt jeweils vorliegt, wird die zweite Ableitung $f’’(x)$ herangezogen und die jeweilige Extremstelle $x_0$ darin eingesetzt:
- Ist $f’’(x_0) < 0$, so liegt ein Hochpunkt vor,
- ist $f’’(x_0) > 0$, handelt es sich um einen Tiefpunkt und
- wenn $f’’(x_0) = 0$ ist, dann liegt dort ein sogenannter Sattelpunkt vor.
Sattelpunkt
Wenn $f’(x) = 0$ und gleichzeitig $f’’(x) = 0$ ist, dann liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) vor, bei dem die Tangente waagerecht ist, aber kein lokales Maximum oder Minimum vorliegt.
Diesen Fall werden wir jedoch vernachlässigen.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Zur Erinnerung:
$f’’(x)=1,2x-2,8 \quad$ und $\quad x_1=0, \quad x_2 \approx 4,67$
Wir überprüfen die erste Extremstelle $x_1=0$:
$\begin{aligned}
f’’(0) &= 1,2 \cdot 0 - 2,8 \\
&= -2,8 < 0 \\
&\Rightarrow \text{Hochpunkt}
\end{aligned}$
Wir überprüfen die zweite Extremstelle $x_2 \approx 4,67$:
$\begin{aligned}
f’’(4,67) &= 1,2 \cdot 4,67 - 2,8 \\
&= 2,804 > 0 \\
&\Rightarrow \text{Tiefpunkt}
\end{aligned}$
Abb. 2: Extremstellen des Graphen
Wir wissen nun, dass an der Stelle $x_1=0$ ein Hochpunkt und an der Stelle $x_2 \approx 4,67$ ein Tiefpunkt vorliegt.
Schritt 4
Last but not least widmen wir uns den noch fehlenden Koordinaten der Extrempunkte. Bisher kennen wir lediglich die jeweiligen $x$-Koordinaten. Die $y$-Koordinaten rechnen wir aus, indem wir die $x$-Werte der Extremstellen in die Ausgangsfunktion einsetzen und die dazugehörigen Funktionswerte $f(x_i)$ an dieser Stelle berechnen.
Beispiel $f(x)=0,2x^3 - 1,4x^2 +7,2$
Zur Erinnerung:
$x_1=0, \quad x_2 \approx 4,67$
Wir rechnen den $y$-Wert des ersten Extrempunkts $x_1=0$ aus:
$\begin{aligned}
f(0) &= 0,2 \cdot 0^3 - 1,4 \cdot 0^2 + 7,2 \\
&= 7,2 \quad \Rightarrow HP(0|7,2)
\end{aligned}$
Wir rechnen den $y$-Wert des zweiten Extrempunkts $x_2 \approx 4,67$ aus:
$\begin{aligned}
f(0) &= 0,2 \cdot 4,67^3 - 1,4 \cdot 4,67^2 + 7,2 \\
&\approx -2,96 \quad \Rightarrow TP(4,67|-2,96)
\end{aligned}$
Wir wissen nun also folgendes:
- dass der Funktionsgraph zwei Extrempunkte hat,
- welcher davon ein Hoch- bzw. ein Tiefpunkt ist und
- wie die genauen Koordinaten der Extrempunkte lauten.
Abb. 3: Extrempunkte des Graphen
Fertig. Weiter geht es im nächsten Abschnitt “Wendepunkte bestimmen”.