Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung
Grafisches Differenzieren
Mit Hilfe des grafischen Differenzierens lässt sich der Graph der Ableitungsfunktion konstruieren, ohne die Gleichung der Ausgangsfunktion oder der Ableitungsfunktion zu kennen oder zu verwenden.
Ausgangspunkt ist der Ansatz, dass die Ableitungsfunktion $f’$ die (Tangenten-)Steigung an jeder beliebigen Stelle von $f$ angibt. Auf Basis der Eigenschaften von $f$ lassen sich dann konkrete Aussagen über den Graphen von $f’$ treffen:
| Funktion $f$ | Ableitungsfunktion $f'$ |
|---|---|
| Hochpunkt (die Steigung ist erst positiv, dann negativ) | Nullstelle (der Graph ist erst positiv, dann negativ) |
| Tiefpunkt (die Steigung ist erst negativ, dann positiv) | Nullstelle (der Graph ist erst negativ, dann positiv) |
| Wendepunkt | Hoch- oder Tiefpunkt (hier ist die Steigung am größten oder kleinsten) |
| steigender Graph (die Steigung ist positiv) | Graph oberhalb der $x$-Achse ($f’(x) > 0$) |
| fallender Graph (die Steigung ist negativ) | Graph unterhalb der $x$-Achse ($f’(x) > 0$) |
Tab. 1: Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
Hat man auf diese Weise genügend Informationen über den Graph der Ableitungsfunktion gesammelt, so lässt sich dieser näherungsweise skizzieren.
Abb. 1: Zusammenhang zwischen Funktion (blau) und Ableitung (orange)
Übung macht den Meister
Teste dein Können, indem du mit Hilfe der nachfolgenden Learning-App den Funktionsgraphen (in blau dargestellt) ihre Ableitungen (in orange) zuordnest.
Materialquelle: https://learningapps.org/watch?v=pg8t076c326