Erste Ableitungsregeln
Ableitungsregeln
Nachfolgend lernst du ein paar Ableitungsregeln, mit deren Hilfe man ebenfalls die Steigung in einem bestimmten Punkt des Graphen bestimmen kann.
Mit diesen Ableitungsregeln kannst du viele Funktionen schnell und einfach ableiten, ohne jedes Mal die Definition der Ableitung (sprich: den Differentialquotienten) anwenden zu müssen. Sie sind grundlegende Werkzeuge, um die Steigung einer Funktion an jeder Stelle zu bestimmen und spielen eine zentrale Rolle in der Differentialrechnung.
Kostantenregel
$f(x)=c, \hspace{10pt} c \in \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad f’(x) = 0$
Die Ableitung einer Kostanten $c$ ist $0$.
Ableitung von $x$
$f(x)=x \quad \rightarrow \quad f’(x) = 1$
Die Ableitung von $x$ ist $1$.
Faktorregel
$f(x) = c \cdot g(x) \quad \rightarrow \quad f’(x) = c \cdot g’(x)$
Ein Vorfaktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Beispiele für Konstantenregel, Ableitung von $x$ und Faktorregel:
- $f(x)=5$ \ $\rightarrow \quad f’(x) = 0$
- $f(x)=x$ \ $\rightarrow \quad f’(x) = 1$
- $f(x)=3x \Leftrightarrow f(x)=3 \cdot x$ \ $\rightarrow \quad f’(x) = 3 \cdot 1 = 3$
- $f(x)=-5x$ \ $\rightarrow \quad f’(x) = -5 \cdot 1 = -5$
- $f(x)= \text{trölf} \cdot x$ \ $\rightarrow \quad f’(x) = \text{trölf} \cdot 1 = \text{trölf}$
Potenzregel
$f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f’(x) = n \cdot x^{n-1}$
Man multipliziert den ursprünglichen Exponenten $n$ mit der Potenz und reduziert den ursprünglichen Exponenten um $1$.
Beispiele für die Potenzregel:
- $f(x)=x^2$
$\rightarrow \quad f’(x) = 2x^{2-1}=2x^1=2x$ - $f(x)=x^3$
$\rightarrow \quad f’(x) = 3x^{3-1}=3x^2$ - $f(x)=x^4$
$\rightarrow \quad f’(x) = 4x^{4-1}=4x^3$ - $f(x)=5x^{17}$
$\rightarrow \quad f’(x) = 5 \cdot 17x^{17-1}=85x^{16}$
Summen- und Differenzenregel
$f(x) = g(x) \pm h(x)$
$\rightarrow \quad f’(x) = g’(x) \pm h’(x)$
Besteht ein Funktionsterm (hier: $f(x)$) aus einer Summe (bzw. Differenz) von einzelnen Termen (hier: $g(x)$ und $h(x)$), so leitet man jeden einzelnen Term für sich ab und addiert (bzw. subtrahiert) anschließend deren Ableitungen (hier: $g’(x) \pm h’(x)$).
Kostantenregel sowie Summen- und Differenzenregel:
- $f(x)=x^2 + 3x$
$\rightarrow \quad f’(x) = (x^2)’ + (3x)’ = 2x + 3$ - $f(x)=x^5 - 4x^2$
$\rightarrow \quad f’(x) = (x^5)’ - (4x^2)’ = 5x^4 + 8x$ - $f(x)=5 \cdot (4x^3 - 1)$
$\rightarrow \quad f’(x) = 5 \cdot (4x^3 - 1)’= 5 \cdot 12x^2 = 60x^2$ - $f(x)=-2x^3 + 7x - 5$
$\rightarrow \quad f’(x) = (-2x^3)’ + (7x)’ - (5)’ = -6x^2 + 7 - 0 = -6x^2 + 7$
Methode #4 zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate: Steigung in einem Punkt berechnen $\rightarrow$ Funktion ableiten
Du erinnerst dich an die drei Methoden aus dem vorangegangenen Kapitel, mit deren Hilfe man die lokale Änderungsrate bestimmen kann? Jetzt kannst du unter Anwendung der Ableitungsregeln die Ableitung direkt bilden und somit die Steigung in einem Punkt viel schneller bestimmen.
Aufgabe1 (Üben und Vertiefen)
Gegeben sei die Funktion $f(x)= -x^2 + 5x - 2$.
Bestimme mit Hilfe der Ableitung die Steigung in den Punkten $P_1 \left(1|f(1)\right)$, $P_2 \left(2|f(2)\right)$ und $P_3 \left(5|f(5)\right)$.Lösungen
Zuerst bestimmt man die Ableitungsfunktion $f’(x)=-2x+5$.
Danach setzt man die $x$-Koordinaten der Punkte ein:
$x_1=1: \quad f’(1)=-2 \cdot 1 + 5 = 3$
Die Steigung im Punkt $P_1$ beträgt $3$.$x_2=2: \quad f’(2)=-2 \cdot 2 + 5 = 1$
Die Steigung im Punkt $P_2$ beträgt $1$.$x_3=5: \quad f’(5)=-2 \cdot 5 + 5 = -5$
Die Steigung im Punkt $P_3$ beträgt $-5$.
Übung macht den Meister
Aufgabe2 (
Bettermarks)
Aufgabe3 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils den Term der Ableitungsfunktion $f’(x)$.
- $f(x)=3x+5$
- $f(x)=x^4-1$
- $f(x)=-3x^6$
- $f(x)=\frac12x^4$
- $f(x)=3x^3-4x^2+5x-6$
- $f(x)=\frac16 x^3 - \frac34 x^2 + \frac15 x - 3$
Lösungen
- $f’(x)=3$
- $f’(x)=4x^3$
- $f’(x)=-18x^5$
- $f’(x)=2x^3$
- $f’(x)=9x^2 - 8x + 5$
- $f’(x)=\frac12x^2 - \frac32 x + \frac15$