Differentialquotient und Ableitung
Wiederholung: Differenzenquotient
Der Differenzenquotient entspricht der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte, die auf dem Graphen einer Funktion liegen. Es handelt sich hierbei um eine Sekante, weshalb man auch von der sog. Sekantensteigung spricht.
Du erinnerst dich hoffentlich noch daran, wie du die Steigung einer linearen Funktion bestimmt hast, wenn zwei Punkte gegeben waren. Hier hast du ein Steigungsdreieck gebildet und im Grunde nichts anderes gemacht.
Das Bilden des Differenzenquotienten ist ein Zwischenschritt bei der Bestimmung der Steigung einer Kurve in einem Punkt.
Einstieg
In der nachfolgenden Applet kannst du selbst experimentieren und herausfinden, wie man von der mittleren Änderungsrate zur lokalen Änderungsrate gelangt.
Lies dir zunächst die Aufgabe durch, bevor du mit dem Experimentieren beginnst.
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/eufd63tm
Aufgabe1 (Experimentier-Aufgabe)
Der Punkt $P_1$, welcher auf dem Graphen von $f$ liegt, wird festgelegt durch den Wert von $x_1$, der dessen x-Koordinate darstellt. Einmal eingestellt, soll dieser fest sein und nicht mehr bewegt werden.
Der Punkt $P_2$ hingegen - für den der Schieberegler $x_2$ vorhanden ist - soll sich dem Punkt $P_1$ nähern.
- Verschiebe mit Hilfe des Schiebereglers $x_2$ den Punkt $P_2$ langsam in Richtung des Punktes $P_1$ und beobachte, wie sich die Steigung der Sekante verändert.
- Notiere dir die einzelnen Ergebnisse tabellarisch in dein Heft.
- Blende anschließend die Tangente ein und erkläre, inwiefern die Steigung der Sekante und die der Tangente zusammenhängen.
- Sind die x-Koordinaten beider Punkte identisch, dann passiert etwas. Erkläre dies in deinen eigenen Worten.
Vom Differenzenquotient zum Differentialquotient
Zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt – der sog. momentanen bzw. lokalen Änderungsrate – nähert man den Punkt $P_2$ dem Punkt $P_1$ an. Dabei nähert sich die Steigung der Sekante schrittweise der Steigung der Tangente und die Sekante wird schlussendlich zur Tangente.
Abb. 1: Von der Sekante zur Tangente
Mathematisch betrachtet verbirgt sich hinter dieser Annäherung der Grenzwert der Sekantensteigung.
Definition Grenzwert
Der Grenzwert (Limes, Abk. $\lim$) beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion oder Folge nähert, wenn sich die $x$-Werte (bzw. Folgenglieder) einer bestimmten Stelle nähern oder gegen unendlich laufen. Der Limes einer Funktion $f(x)$ an einer Stelle $x_0$ ist derjenige Wert, dem sich $f(x)$ nähert, wenn $x$ gegen $x_0$ läuft.
Notation:
$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = a$
$a$ bezeichnet hierbei den Grenzwert der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$.
Man spricht das so:
“Limes für x gegen x Null von f von x gleich a.”
Differentialquotient / Grenzwert der Sekantensteigung
Es gilt:
$\displaystyle m = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
bzw. wenn man für $y_1 = f(x_1)$ und für $y_2 = f(x_2)$ einsetzt:
$\displaystyle m = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.
$m$ – also der Wert des Differentialquotienten – entspricht hierbei der lokalen Änderungsrate.
Lokale Änderungsrate
Die lokale Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x_0$ entspricht der Steigung der Tangente an dem Graphen von $f$ im Punkt $P\left(x_0|f(x)\right)$.
Die lokale Änderungsrate heißt auch Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$.
Geschrieben $f’(x_0)$ (gesprochen: “f Strich von x null”).
Mit Hilfe der lokalen Änderungsrate kann man die Steigung in jedem beliebigen Punkt einer Kurve bestimmen.
Differentialquotient und h-Methode
Schreibt man für die Stelle $x_2 = x_1 + h$ (dabei geht man quasi davon aus, dass $x_2$ einen Abstand $h$ zu $x_1$ hat), so erhält man für den Differentialquotienten eine andere Schreibweise, die sog. h-Methode:
h-Methode
Schreibweise des Differentialquotienten mit der h-Methode:
$\displaystyle m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{x_1+h-x_1}$
Und kürzt man nun noch den Nenner, so lautet die Formel:
$\displaystyle m= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}.$
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/pj5cuqrj
Aufgabe2 (Experimentier-Aufgabe)
Auch hier soll sich der Punkt $P_1$ schrittweise dem Punkt $P_2$ nähern.
- Lege zunächst einmal einen Wert für $x_1$ und eine Funktionsgleichung fest und verschiebe anschließend mit Hilfe des Schiebereglers $h$ den Punkt $P_2$ langsam in Richtung des Punktes $P_1$ und beobachte, wie sich die Steigung der Sekante verändert.
- Notiere dir neben der Funktionsgleichung und dem Wert von $x_1$ auch einzelne Ergebnisse tabellarisch in dein Heft. Stelle anschließend eine begründete Vermutung auf, welchem Wert sich die Werte der Sekantensteigung nähern.
- Welche Unterschiede im Vergleich zur letzten Applet kannst du erkennen? Notiere deine Ergebnisse in Stichworten.
Der Differentialquotient ist die Ableitung $f’(x_1)$ der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_1$. Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle $x_1$ gibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt $P(x_1|f(x_1))$ an.
Ableitung und ihre Bedeutung
Die erste Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x_0$ gibt die momentane Änderungsrate des Funktionsgraphen an dieser Stelle an – geometrisch gesehen also die Steigung der Tangente an den Graphen. Die Ableitung der Funktion $f(x)$ wird mit $f’(x)$ bezeichnet.
Wusstest du?
Weitere Ableitungen bezeichnet man $f’’(x)$, $f’’’(x)$, usw.
Und so lassen sich die Werte der ersten Ableitung interpretieren:
- Ist $f’(x_0) > 0$, so steigt der Graph an dieser Stelle.
- Ist $f’(x_0) < 0$, so fällt der Graph an dieser Stelle.
- Ist $f’(x_0) = 0$, so hat der Graph an dieser Stelle keine Steigung (Steigung gleich Null).
Abb. 2: Verschiedene Steigungen am Graphen
Die Ableitung ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung von besonderen Stellen eines Graphen. Ebenso gibt sie Auskunft über den Verlauf des Graphen.
Mit Hilfe der ersten Ableitung bestimmt man außerdem mögliche Extremstellen. Mehr dazu im Kapitel “Funktionsuntersuchung”.
Interpretation der lokalen Änderungsrate im Beispielkontext
| Bsp.e für Funktionen | mittlere Änderungsrate | lokale Änderungsrate |
|---|---|---|
| Zeit → zurückgelegter Weg | Durchschnittsgeschwindigkeit | Momentangeschwindigkeit |
| Entfernung → Höhe | Durchschnittshöhe | Momentane Steigung |
Tab. 1: Mittlere und lokale Änderungsrate in Anwendungskontexten