Nullstellen von kubischen Funktionen
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie man Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen bestimmt, dann schaue dir zunächst noch einmal den Abschnitt aus dem Grundlagen-Training an.
Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion
Bevor wir uns mit den Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomfunktionen befassen, sollten wir zunächst noch einen Blick darauf werfen, wie viele Nullstellen eine solche Polynomfunktionen überhaupt besitzen kann. Hierzu gilt folgender Merksatz:
Merke dir:
Eine Polynomfunktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie der Grad des Polynoms ist.
Beispiel:
- Eine lineare Funktion - also eine Polynomfunktion vom Grad eins - besitzt maximal eine Nullstelle.
- Eine quadratische Funktion (Grad zwei) kann maximal zwei Nullstellen besitzen.
- Eine Polynomfunktion vom Grad drei kann maximal drei Nullstellen besitzen.
- …
- Eine Polynomfunktion vom Grad n kann maximal n Nullstellen besitzen.
Neue Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen
Bisher hast du Funktionen kennengelernt, deren Nullstellen du entweder mithilfe einfacher Äquivalenzumformung oder mit Hilfe der p-q-Formel bestimmen konntest. Nun widmen wir uns aber kubischen Funktionen – also Funktionen dritten Grades. Hier kommst du nur mit diesen beiden Verfahren allein leider in den meisten Fällen nicht weiter.
Wir benötigen dazu noch ein paar weitere Verfahren, die wir nun nach und nach kennenlernen werden.
Nullstellen bestimmen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt
Hat man es mit einer linearen oder quadratischen Funktion zu tun, so lassen sich deren Nullstellen durch Äquivalenzumformung, einfaches Wurzelziehen oder die p-q-Formel bestimmen. Bei Funktionen dritten Grades (sprich: kubischen Funktionen) ist dies jedoch anders. Hier reichen diese Verfahren nicht mehr aus, sodass wir uns nun dem Bestimmen von Nullstellen durch Ausklammern und der Anwendung des Satzes vom Nullprodukt widmen.
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Aufgabe1 (Übung macht den Meister)
Bestimme die Nullstellen der jeweiligen Funktion, indem du zunächst die kleinste Potenz ausklammerst und dann den Satz vom Nullprodukt anwendest.
- $f_1(x) = x^3 – 4x$
- $f_2(x) = x^3 + 4x^2$
- $f_3(x) = x^3 - 3x^2$
- $f_4(x) = 2x^3 - 5x^2$
- $f_5(x) = 0,5x^3 - x^2$
Lösungen
- $f_1(x) = x^3 – 4x \qquad \Rightarrow x_1=-2, \quad x_2=0, \quad x_3=2$
- $f_2(x) = x^3 + 4x^2 \qquad \Rightarrow x_1=-4, \quad x_2=0$
- $f_3(x) = x^3 - 3x^2 \qquad \Rightarrow x_1=0, \quad x_2=3$
- $f_4(x) = 2x^3 - 5x^2 \qquad \Rightarrow x_1=0, \quad x_2=2,5$
- $f_5(x) = 0,5x^3 - x^2 \qquad \Rightarrow x_1=0, \quad x_2=2$
Nullstellen durch Ausklammern und p-q-Formel bestimmen
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Aufgabe2 (Übung macht den Meister)
Bestimme die Nullstellen der jeweiligen Funktion, indem du zunächst die kleinste Potenz ausklammerst und dann die p-q-Formel anwendest.
- $f_1(x) = 0,25x^3 – x^2 + x$
- $f_2(x) = x^3 + 2x^2 - 3x$
- $f_3(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$
- $f_4(x) = x^3 - 8x^2 + 16x$
- $f_5(x) = x^3 - 4x^2 - 21x$
Lösungen
- $f_1(x) = x^3 + 2x^2 - 3x \qquad \Rightarrow x_1=-3, \quad x_2=0, \quad x_3=1$
- $f_2(x) = x^3 + 2x^2 - 3x \qquad \Rightarrow x_1=-3, \quad x_2=0, \quad x_3=1$
- $f_3(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \qquad \Rightarrow x_1=0, \quad x_2=3$
- $f_4(x) = x^3 - 8x^2 + 16x \qquad \Rightarrow x_1=0, \quad x_2=4$
- $f_5(x) = x^3 - 4x^2 - 21x \qquad \Rightarrow x_1=-3, \quad x_2=0, \quad x_3=7$