Lehrzeile

Substitution

Manche Funktionen eignen sich aufgrund ihrer Form für ein weiteres Verfahren – die Substitution. Der größte Vorteil dieses Verfahrens liegt im Vergleich mit der Polynomdivision in der Zeitersparnis.

Wusstest du?

Der Begriff Substitution bedeutet auch “Ersetzung eines Objekts durch ein anderes”.

Das Substitutions-Verfahren

Die Substitution ist ein mathematisches Verfahren, um komplexe Gleichungen durch den Austausch eines Terms durch einen anderen (z.B. $x^2$ durch $z$) zu vereinfachen und lösbar zu machen. Es handelt sich um ein drei-schrittiges Verfahren:

  1. Substituieren (Ersetzen)
  2. Lösen (z.B. mit pq-Formel)
  3. Resubstituieren (Resubstitution, oder auch: Rückrechnung auf die ursprüngliche Variable).

Im folgenden Video lernst du, wie du das Verfahren anwendest:

Beobachtungsauftrag:

  • Schaue dir das folgende Video zunächst einmal aufmerksam an.
  • Betrachte das Video nun ein zweites Mal, schreibe dabei die Beispielaufgabe mit und mache dir zu den jeweiligen Rechenschritten Notizen.

Nachgedacht:

Wie bereits erwähnt, eignet sich das Substitutions-Verfahren nicht für alle Funktionen. Diese benötigen eine ganz bestimmte Form:

  • $ax^4 +bx^2 + c=0$
  • $ax^6 +bx^3 + c=0$
  • $ax^8 +bx^4 + c=0$
  • $\dots$

Erkennst du die Systematik dahinter?

Überlege dir, welche Form eine Funktionsvorschrift im Allgemeinen haben muss, damit sich die Nullstellen mit Hilfe der Substitution bestimmen lassen.

Aufgabe1 (Üben und Vertiefen)

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen:

  • $f_1(x) = -2x^4 + 34x^2 - 32$
  • $f_2(x) = -2x^4 + 80x^2 - 288$
  • $f_3(x) = x^6 - 7x^3 - 8$
  • $f_4(x) = x^6 + 133x^3 + 1000$
Lösungen
  • $f_1(x) = -2x^4 + 34x^2 - 32$
    $\Rightarrow x_1=-4, \quad x_2=-1, \quad x_3=1, \quad x_4=4$
  • $f_2(x) = -2x^4 + 80x^2 - 288$
    $\Rightarrow x_1=-6, \quad x_2=-2, \quad x_3=2, \quad x_4=6$
  • $f_3(x) = x^6 - 7x^3 - 8$
    $\Rightarrow x_1=-1, \quad x_2=2$
  • $f_4(x) = x^6 + 133x^3 + 1000$
    $\Rightarrow x_1=-5, \quad x_2=-2$

Aufgabe2 (Üben und Vertiefen)

Beim Bestimmen der Nullstellen einer Funktion mit Hilfe der Substitution ist die Rücksubstitution nicht immer möglich – manchmal nur teilweise und manchmal sogar überhaupt nicht. Hier sind einige Beispiele dafür.

  • $f_5(x) = -3x^4 - 60x^2 + 1728$
  • $f_6(x) = -6x^4 - 30x^2 - 24$
  • $f_7(x) = 2x^4 - 64x^2 - 288$
  • $f_8(x) = 5x^4 + 130x^2 + 125$
Lösungen
  • $f_5(x) = -3x^4 - 60x^2 + 1728 \qquad \Rightarrow x_1=-4, \quad x_2=4$
  • $f_6(x) = -6x^4 - 30x^2 - 24 \qquad \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$
  • $f_7(x) = 2x^4 - 64x^2 - 288 \qquad \Rightarrow x_1=-6, \quad x_2=6$
  • $f_8(x) = 5x^4 + 130x^2 + 125 \qquad \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$
Davor
Horner-Schema
Danach
Nullstellen von Funktionen höheren Grades