Substitution
Manche Funktionsvorschriften eignen sich aufgrund ihrer Form für ein weiteres Verfahren – die Substitution. Der größte Vorteil dieses Verfahrens liegt im Vergleich mit der Polynomdivision in der Zeitersparnis.
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir das folgende Video zunächst einmal aufmerksam an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal, schreibe dabei die Beispielaufgabe mit und mache dir zu den jeweiligen Rechenschritten Notizen.
Nachgedacht:
Überlege dir, welche Form eine Funktionsvorschrift im Allgemeinen haben muss, damit sich die Nullstellen mit Hilfe der Substitution bestimmen lassen.
Aufgabe1 (Üben und Vertiefen)
Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen:
- $f_1(x) = -2x^4 + 34x^2 - 32$
- $f_2(x) = -2x^4 + 80x^2 - 288$
Aufgabe2 (Üben und Vertiefen)
Beim Bestimmen der Nullstellen einer Funktion mit Hilfe der Substitution ist die Rücksubstitution nicht immer möglich – manchmal nur teilweise und manchmal sogar überhaupt nicht. Hier sind einige Beispiele dafür.
- $f_3(x) = -3x^4 - 60x^2 + 1728$
- $f_4(x) = -6x^4 - 30x^2 - 24$
- $f_5(x) = 2x^4 - 64x^2 - 288$
- $f_6(x) = 5x^4 + 130x^2 + 125$
Lösungen
- $f_1(x) = -2x^4 + 34x^2 - 32$
$\Rightarrow x_1=-4, \quad x_2=-1, \quad x_3=1, \quad x_4=4$ - $f_2(x) = -2x^4 + 80x^2 - 288$
$\Rightarrow x_1=-6, \quad x_2=-2, \quad x_3=2, \quad x_4=6$
- $f_3(x) = -3x^4 - 60x^2 + 1728 \qquad \Rightarrow x_1=-4, \quad x_2=4$
- $f_4(x) = -6x^4 - 30x^2 - 24 \qquad \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$
- $f_5(x) = 2x^4 - 64x^2 - 288 \qquad \Rightarrow x_1=-6, \quad x_2=6$
- $f_6(x) = 5x^4 + 130x^2 + 125 \qquad \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$