Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen begegnen dir öfter, als du vielleicht denkst. Wenn du einen Ball wirfst, eine Brücke anschaust oder eine Satellitenschüssel siehst, steckt dahinter oft eine besondere Kurve – die sogenannte Parabel.
Die Normalparabel
Normalparabel
Die einfachste quadratische Funktion ist die Funktion $f(x)= x^2$ und wird als Normalparabel bezeichnet.
Ihr Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse und der Punkt $S(0|0)$ ist ihr Scheitelpunkt.
Abb. 1: Normalparabel
Der Graph einer quadratischen Funktion - Die Parabel
Den Graph einer beliebigen quadratischen Funktion bezeichnet man als Parabel.
Parabeln können entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein und sind dabei immer charakteristisch wie ein Bogen geformt.
Den Tiefpunkt bzw. Hochpunkt einer solchen bogenförmigen Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt.
Dieser kann beliebig im Koordinatensystem verschoben sein.
Allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion
Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion hat die Form $$f(x)=ax^2+bx+c.$$
Symmetrieeigenschaft und Scheitelpunkt quadratischer Funktionen
Eine Parabel ist achsensymmetrisch. Ihre Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt der Parabel verläuft und parallel zur $y$-Achse liegt. Das bedeutet, dass die linke und rechte Seite der Parabel, wenn man sie entlang dieser Achse spiegelt, perfekt übereinstimmen. Man könnte sie sozusagen entlang dieser Symmetrieachse falten, sodass anschließend beide Seiten perfekt übereinander liegen.
Der Streckfaktor
Den Streck- bzw. Öffnungsfaktor einer Parabel kann man ganz einfach ablesen: Er ist der Parameter $a$ vor dem $x^2$, wenn $f(x)=ax^2$ ist. Der Streckfaktor $a$ bestimmt dabei die Form der Parabel. Man spricht hierbei entweder von Streckung oder Stauchung.
Streck- bzw. Öffnungsfaktor einer Parabel
Ob eine Parabel gestreckt oder gestaucht ist, erkennst du am Vorfaktor $a$:
- $a = 1 :\quad$ der Graph ist eine Normalparabel (oranger Graph)
- $a = -1 :\quad$ der Graph ist eine nach unten geöffnete Normalparabel (blauer Graph)
- $a > 1$ oder $a < -1 :\quad$ die Parabel ist gestreckt (grüner Graph)
- $-1 < a < 1, \hspace{5pt} a \neq 0 :\quad$ die Parabel ist gestaucht (roter Graph)
Abb. 2: Gestreckte und gestauchte Parabeln
Einfluss der Parameter $b$ und $c$ auf die Normalparabel
Zurück zur allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$. Um den Streckfaktor $a$ haben wir uns bereits gekümmert. Wofür stehen allerdings $b$ und $c$?
Wir untersuchen also jetzt, wie die Parabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn wir die Parameter $b$ und $c$ verändern.
Der Parameter $c$ beeinflusst, wie weit die Parabel nach oben oder nach unten verschoben wird. Das kannst du im folgenden GeoGebra-Applet selbst testen, indem du den Schieberegler von $c$ verschiebst:
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/kfhaawtr
Vorab: Der Parameter $b$ hat keinen direkt erkennbaren Einfluss auf die Lage der Parabel. Erst wenn man genau hinschaut, wird sichtbar, was passiert, wenn sich der Parameter $b$ verändert:
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/mqzu6n8g
Aufgabe1 (Beobachtungsauftrag)
Die beiden GeoGebra-Applet befassen sich mit dem Einfluss der beiden Parameter $b$ und $c$ auf die Lage der Parabel im Koordinatensystem.
- Bearbeite die beiden GeoGebra-Applets.
- Notiere deine Beobachtungen stichwortartig in deine Unterlagen.
Verschiebung der Normalparabel entlang der $y$-Achse
Um nachvollziehen zu können, wie der Scheitelpunkt einer Parabel entlang der $y$-Achse verschoben wird, betrachten wir ausschließlich den Parameter $c$:
- $c=0$: der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
- $c>0$: der Scheitelpunkt wird entlang der $y$-Achse nach oben verschoben
- $c<0$: der Scheitelpunkt wird entlang der $y$-Achse nach unten verschoben
Abb. 3: Verschiebung der Normalparabel entlang der y-Achse
Die Scheitelpunktform
Neben der allgemeinen Form einer Parabel $f(x)=ax^2+bx+c$ werden Parabeln häufig auch in der sogenannten Scheitelpunktform dargestellt. Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt - und somit im Grunde fast (!) alle wichtigen Eigenschaften einer Parabel - besonders leicht ablesen.
Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $$ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $$ wobei $x_s$ und $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(x_s|y_s)$ sind und $a$ der Streck- bzw. Öffnungsfaktor der Parabel ist.
Ist dir etwas aufgefallen?
Die Scheitelpunktform liefert uns nicht nur Auskunft über die Verschiebung der Parabel entlang der $y$-Achse. Sie liefert uns darüber hinaus auch eine Information darüber, wie weit der Scheitelpunkt entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben wurde.
Damit beschäftigen wir uns im kommenden Abschnitt.
Verschiebung einer Parabel entlang der $x$- und $y$-Achse
Betrachten wir die quadratische Funktion $f(x)=1,5 \cdot (x-2)^2-1$.
Wir erkennen zunächst einmal, dass die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegt. Das heißt, dass sich die Koordinaten des Scheitelpunkts somit direkt ablesen lassen: $S(2|-1)$.
Abb. 4: Scheitelpunktform einer Parabel
Was heißt das nun?
Die Parabel wurde also um $2$ Einheiten nach rechts sowie um $1$ Einheit nach unten verschoben.
Außerdem lässt sich noch erkennen, dass die Parabel um den Faktor $1,5$ gestreckt wird.
Verschiebung einer Parabel entlang der $x$- und $y$-Achse
Ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $ gegeben, so bestimmt $x_s$ die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $x$-Achse. $y_s$ wiederum bestimmt die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $y$-Achse.
- $x_s > 0 :\quad$ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in positive $x$-Richtung (nach rechts)
- $x_s < 0 :\quad$ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in negative $x$-Richtung (nach links)
- $x_s = 0 :\quad$ der Scheitelpunkt liegt auf der $y$-Achse
- $y_s > 0 :\quad$ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in positive $y$-Richtung (nach oben)
- $y_s < 0 :\quad$ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in negative $y$-Richtung (nach unten)
- $y_s = 0 :\quad$ der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
Weitere Beispiele für verschobene Parabeln
- $f(x)=(x-3)^2+5$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 5 Einheiten nach oben und um 3 Einheiten nach rechts verschoben - $f(x)=(x+2)^2-1$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 1 Einheit nach unten und um 2 Einheiten nach links verschoben - $f(x)=-(x-1)^2$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 1 Einheit nach rechts verschoben und liegt auf der $x$-Achse. Außerdem ist die Parabel nach unten geöffnet.
Aufgabe2 (
Bettermarks)
Aufgabe3 (Ablesen von Funktionsgraphen)
Abb. 5: Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen
Aufgabe4 (Bettermarks)
Quadratische Ergänzung
Schonmal gehört?
Die quadratische Ergänzung benötigst du unter anderem, um die Funktionsvorschrift einer quadratischen Funktionen von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzuwandeln.
Tüftelaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem das Verfahren vorstellst und erklärst. Erstelle hierzu ein Handout, welches du deiner Klasse zur Verfügung stellst. Hierbei solltest du möglichst anschaulich vorgehen und die einzelnen Schritte möglichst genau beschreiben und so dein Können unter Beweis stellen.
Nullstellen quadratischer Funktionen - Lösen quadratischer Gleichungen
Merke dir:
Je nach Position des Scheitelpunkts kann der Graph einer quadratischen Funktion eine, zwei oder keine Nullstellen besitzen:
- die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ keine Nullstelle - die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ keine Nullstelle - der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
$\Rightarrow$ eine Nullstelle - die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen - die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen
Beobachtungsauftrag:
Die beiden Videos beschäftigen sich mit dem Bestimmen von Nullstellen quadratischer Funktionen - mit und ohne p-q-Formel.
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Aufgabe5 (Üben und Vertiefen)
- folgt
- folgt
- folgt
Aufgabe6 (Üben und Vertiefen)
- folgt
- folgt
- folgt
Zur Erinnerung:
Wie genau das mit dem Ausklammern, dem Satz vom Nullprodukt und der p-q-Formel funktioniert, ist bereits im Abschnitt Terme und Gleichungen beschrieben.
Die Linearfaktorform
Hat man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet, so kann man die Funktionsgleichung in der sogenannten Linearfaktorform darstellen.
Die Linearfaktorform ist besonders nützlich, wenn du die Nullstellen einer quadratischen Funktion kennst oder sie herausfinden möchtest. Sie zeigt direkt, an welchen Stellen der Graph die $x$-Achse schneidet. Sprich: Du kannst die Nullstellen direkt ablesen.
Jede Nullstelle $x_1$ oder $x_2$ der Funktion entspricht dabei einem Linearfaktor $(x-x_1)$ bzw. $(x-x_2)$. So kannst du die Funktionsgleichung einfach als Produkt dieser Linearfaktoren und des Streckfaktors $a$ schreiben.
Definition Linearfaktor
Ein Linearfaktor ist ein Faktor einer Polynomfunktion, der die Variable $x$ nur in der ersten Potenz enthält (also $x$ “hoch Eins”), also von der Form $(x - N)$ ist, wobei $N$ eine Nullstelle der Funktion ist.
Linearfaktorform
Die Linearfaktorform (oder auch Linearfaktordarstellung oder -zerlegung) ist eine Darstellung eines Polynoms als Produkt von Linearfaktoren und einer Konstante $a$. Sie lautet für eine quadratische Funktion:
$$f(x) = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2).$$
Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen des Polynoms und $a$ der Streck- bzw. Öffnungsfaktor der Parabel.
Beispiele für quadratische Funktionen in der Linearfaktorform
- $f(x) = a \cdot (x-1) \cdot (x-4):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=4$ - $f(x) = a \cdot (x+2) \cdot (x+5):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=-5$ - $f(x) = a \cdot (x-3) \cdot (x+6):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=-6$
Die drei Darstellungsformen
Je nachdem, was man bestimmen möchte, eignen sich die drei Darstellungsformen – die allgemeine Form, die Scheitelpunktform sowie die Linearfaktorform – einer quadratischen Funktion auf unterschiedliche Art und Weise.
Tüftelaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.
Schnittpunkte von Parabel und Gerade
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Aufgabe7 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils die Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
- $f_1(x) = x^2 - 2x - 3, \qquad g_1(x)= 2x + 2$
- $f_2(x) = 2x^2 + 4x - 2, \qquad g_2(x)= -2x - 2$
- $f_3(x) = -\frac12 x^2 - 2x, \qquad g_3(x)= 2x + 8$
Quelle: mathe-total.de (letzter Aufruf: 13.08.2025)
Lösungen
- $S_1(5|12) \qquad S_2(-1|0)$
- $S_1(0|-2) \qquad S_2(-3|4)$
- $S_1(-4|0)$ (Berührpunkt, da die Gerade $g$ eine Tangente an die Parabel $f$ ist)
Schnittpunkte von zwei Parabeln
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Aufgabe8 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
- $f_1(x) = 2x^2 + 3x + 7, \qquad p_1(x)= 4x^2 - 5x - 3$
- $f_2(x) = 3x^2 - 5x, \qquad p_2(x)= 2x^2 - x - 4$
- $f_3(x) = 2x^2 - 4x + 10, \qquad p_3(x)= x^2 - 2x - 2$
Quelle: matheportal.com (letzter Aufruf: 13.08.2025)
Lösungen
- $S_1(-1|6) \qquad S_2(5|72)$
- $S_1(2|2)$ (Berührpunkt)
- kein Schnittpunkt
Parabeln durch zwei Punkte
Um die nachfolgende Aufgabe zu lösen, solltest du einfache lineare Gleichungssysteme mithilfe des Einsetzungs-, des Gleichsetzungs- oder des Additionsverfahrens lösen können.
Aufgabe9 (Übung macht den Meister)
Bestimme jeweils die Schnittpunkte der beiden Parabeln.