Lineare Funktionen
Linearität
Was bedeutet Linearität eigentlich?
Ein linearer Zusammenhang beschreibt eine Beziehung zwischen zwei Variablen, bei der sich die eine Variable mit konstanter Rate ändert, wenn sich die andere Variable ändert. Dies kann als eine gerade Linie in einem Diagramm1 dargestellt werden.
Die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion
Jede Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form2 $$f(x) = m \cdot x + b$$
$m$ steht hierbei für die Steigung der Geraden, $b$ wiederum für den sogenannten y-Achsenabschnitt.
Der Graph einer linearen Funktion
Graph einer linearen Funktion
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
Steigung
Geraden können steigen, fallen oder waagerecht im Koordinatensystem liegen. Dies hängt unmittelbar von der Steigung $m$ ab. Dabei gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:
- $m > 0$: die Gerade steigt
- $m = 0$: die Gerade verläuft waagerecht (parallel zur x-Achse)
- $m < 0$: die Gerade fällt
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt $b$ wiederum beschreibt diejenige Stelle, an der der Funktionsgraph die y-Achse schneidet.
Beobachtungsauftrag:
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an und rufe dir die Vorgehensweise in Erinnerung.
- Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=-2x+3$.
Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen
Nehmen wir an, die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ mit $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ liegen auf dem Graphen der linearen Funktion $f$. Die Steigung $m$ der Geraden lässt sich dann berechnen mit
$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \text{bzw.} \quad m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.$$
Eine Anleitung, wie das am praktischen Beispiel funktioniert, findest du hier:
Aufgabe1 (
Bettermarks)
Von der Funktionsgleichung zur Wertetabelle
Eine Funktionsgleichung ist eine mathematische Formel, welche die Beziehung zwischen $x$ und $y$ definiert. Eine Wertetabelle wiederum ist eine tabellarische Darstellung, die die Zuordnung zwischen $x$-Werten und den entsprechenden $y$-Werten eben jener Funktion zeigt. Solch eine Wertetabelle hilft dir unter anderem dabei, den Graphen der Funktion zu zeichnen.
Aufgabe2 (Üben und Vertiefen)
Erstelle jeweils eine Wertetabelle für die folgenden Funktionen:
- $f_1(x)= 4x - 3$
- $f_2(x)= -\frac14 x + 10$
- $f_3(x)= 0,25x$
- $f_4(x)= 1$
Graphen ähnlicher linearer Funktionen zeichnen
In diesem Abschnitt geht es darum, wie man die Graphen einander ähnlicher linearer Funktionen zeichnet.
Rufe dir hierzu noch einmal das Video aus dem Abschnitt Der Graph einer linearen Funktion in Erinnerung.
Aufgabe3 (Bettermarks)
Von der Wertetabelle zur Funktionsgleichung
Ist die Funktionsgleichung $f(x)$ gesucht, gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese aufzustellen. Eine Möglichkeit - die hier vorgestellt wird - besteht darin, eine Wertetabelle heranzuziehen und so zur Funktionsgleichung zu gelangen.
Beobachtungsauftrag:
- Betrachte dir zunächst das obige Video.
- Schaue dir das Video nun ein zweites Mal an und schreibe die Beispielaufgaben in Ruhe mit. Mache dir dazu auch entsprechende Notizen.
Aufgabe4 (Bettermarks)
Teste dein Können mit Hilfe der folgenden Aufgabe bei bettermarks:
Lineare Funktion durch zwei Punkte
Ist lediglich der Graph der Funktion $f$ gegeben, so besteht eine zweite Möglichkeit, die Funktionsgleichung $f(x)$ zu bestimmen. Hierzu kann man zunächst mehrere Punkte am Graphen der Funktion ablesen, um anschließend die Funktionsvorschrift zu ermitteln.
Aufgabe5 (Bettermarks)
$x$-Werte zu gesuchten $y$-Werten bestimmen
In einem der vorherigen Abschnitte hast du bereits gelernt, wie man eine Wertetabelle erstellt, wenn man bereits die Funktionsgleichung $f(x)$ gegeben hat. Man sucht also nach den zugehörigen $y$-Werten zu gegebenen $x$-Werten. Oftmals möchte man aber auch den umgekehrten Weg gehen und sucht nach dem $x$-Wert zu einem gegebenen $y$-Wert. Wie das geht, lernst du hier:
Beobachtungsauftrag:
- Wiederholung vorheriger Abschnitte:
Schaue dir das nachfolgende Video an und vollziehe das Aufstellen der Funktionsgleichung sowie das Bestimmen der $y$-Werte nach. - Halte nun das Video an der Stelle
6:20an und bestimme den $x$-Wert zum gegebenen $y$-Wert $3,5$. Kontrolliere anschließend deine Lösung, indem du das Video zu Ende schaust.
Nullstellen linearer Funktionen
Im nachfolgenden Video lernst du, wie man die Nullstellen einer linearen Funktion bestimmt.
Aufgabe6 (Bettermarks)
“Punktprobe”
Mit Hilfe der Punktprobe überprüft man rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion (z. B. dem einer linearen oder quadratischen Funktion) liegt. Bei der Punktprobe setzt man die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung $f(x)$ ein und schaut, ob man eine wahre oder falsche Aussage erhält:
- wahre Aussage → der Punkt liegt auf dem Graphen
- falsche Aussage → der Punkt liegt nicht auf dem Graphen
Aufgabe7 (Bettermarks)
Nachgedacht:
Mit Hilfe dieser Methode kann man nicht nur herausfinden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Damit lässt sich auch herausfinden, ob ein Punkt oberhalb oder unterhalb des Graphen der Funktion liegt.
Tüftelaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.
Nützliche Links
Weitere Informations- und Übungsmaterialien findest du hier: