Exponentialfunktionen und -gleichungen
Berechnung von Funktions- und Umkehrwerten
In der Realität gibt es Situationen, die exponentielle Vorgänge beschreiben, und in denen man sich Fragen stellt wie:
- “Nach welcher Zeit …?”
- “Wie viel … nach einer bestimmten Zeit?”
Solche Fragestellungen lassen sich in der Regel auf unterschiedliche Arten lösen:
- durch Ausprobieren
- graphisch oder
- rechnerisch.
Letztere ist diejenige, auf die wir uns nachfolgend konzentrieren werden. Die Umkehrfunktion des Potenzierens (“hoch irgendwas rechnen”) nennt man Logarithmieren.
Definition Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehroperation zum Potenzieren und beantwortet die Frage: “Mit welcher Zahl (Exponent $x$) muss ich eine Basis ($a$) potenzieren, um einen bestimmten Wert (Numerus $N$) zu erhalten?”.
Die oben genannte Gleichung, welche wir lösen wollen, lautet also: $a^x=N$.
Die Schreibweise der Lösung lautet dann: $x = log_a(N)$.
Gesprochen: "$x$ ist gleich der Logarithmus zur Basis $a$ von $N$."
Wichtige Regeln sind, dass
- der Numerus $N$ und die Basis $a$ positiv sein müssen und
- die Basis $a$ nicht $1$ sein darf.
Beispiel: Exponentialgleichung lösen durch Logarithmieren
Gesucht ist die Lösung der Gleichung $2^x=8$.
Oder anders ausgedrückt: “Wie oft muss man 2 mit sich selbst multiplizieren, um 8 zu erhalten?”
$\begin{aligned} &&2^x &=8 &\vert ~ \log \\ \Leftrightarrow &&x &= \log_2(8) \\ \Leftrightarrow &&x &= 3 \end{aligned}$
Antwort: $\qquad$ Um 8 zu erhalten, muss man die $2$ dreimal mit sich selbst multiplizieren.
Übung macht den Meister
Aufgabe1 (Exponentialgleichungen lösen - Level 1: Im Kopf logarithmieren)
Ermittle den Logarithmus ohne Hilfsmittel.
- $\log_2(32)$
- $\log_{10}(1000)$
- $\log_7(1)$
- $\log_4(\frac{1}{16})$
Aufgabe2 (Exponentialgleichungen lösen - Level 2)
Löse die Exponentialgleichung. Runde das Ergebnis auf Hundertstel.
- $2^x = 128$
- $10^x = 350$
- $1,1^x - 150 = 70$
- $4 + 0,9^x - 150 = 25$
- $3 \cdot 1,2^x = 270$
- $\displaystyle \frac{12}{2^x} = 4$
- $5 : 2,2^x = 1$
- $3^x = -2$
Lösungen
folgen…
Aufgabe3 (Weitere Aufgaben)