Lösen quadratischer Gleichungen
Nullstellen quadratischer Funktionen
Merke dir:
Je nach Position des Scheitelpunkts kann der Graph einer quadratischen Funktion eine, zwei oder keine Nullstellen besitzen:
- die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ keine Nullstelle - die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ keine Nullstelle - der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
$\Rightarrow$ eine Nullstelle - die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen - die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$-Achse
$\Rightarrow$ zwei Nullstellen
Beobachtungsauftrag:
Die beiden Videos beschäftigen sich mit dem Bestimmen von Nullstellen quadratischer Funktionen - mit und ohne pq-Formel.
- Schaue dir zunächst aufmerksam das Video an.
- Betrachte das Video nun ein zweites Mal und schreibe die Beispielaufgabe mit.
Zur Erinnerung:
Wie genau das mit dem Ausklammern, dem Satz vom Nullprodukt und der pq-Formel funktioniert, ist bereits im Abschnitt Terme und Gleichungen beschrieben.
Übungsaufgaben zum Lösen von quadratischen Gleichungen findest du ebenfalls in diesem Kapitel.
Die Linearfaktorform
Hat man die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet, so kann man die Funktionsgleichung in der sogenannten Linearfaktorform darstellen.
Die Linearfaktorform ist besonders nützlich, wenn du die Nullstellen einer quadratischen Funktion kennst oder sie herausfinden möchtest. Sie zeigt direkt, an welchen Stellen der Graph die $x$-Achse schneidet. Sprich: Du kannst die Nullstellen direkt ablesen.
Jede Nullstelle $x_1$ oder $x_2$ der Funktion entspricht dabei einem Linearfaktor $(x-x_1)$ bzw. $(x-x_2)$. So kannst du die Funktionsgleichung einfach als Produkt dieser Linearfaktoren und des Streckfaktors $a$ schreiben.
Definition Linearfaktor
Ein Linearfaktor ist ein Faktor einer Polynomfunktion, der die Variable $x$ nur in der ersten Potenz enthält (also $x$ “hoch Eins”), also von der Form $(x - N)$ ist, wobei $N$ eine Nullstelle der Funktion ist.
Linearfaktorform
Die Linearfaktorform (oder auch Linearfaktordarstellung oder -zerlegung) ist eine Darstellung eines Polynoms als Produkt von Linearfaktoren und einer Konstante $a$. Sie lautet für eine quadratische Funktion:
$$f(x) = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2).$$
Dabei sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen des Polynoms und $a$ der Streck- bzw. Öffnungsfaktor der Parabel.
Beispiele für quadratische Funktionen in der Linearfaktorform
- $f(x) = a \cdot (x-1) \cdot (x-4):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=4$ - $f(x) = a \cdot (x+2) \cdot (x+5):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=-5$ - $f(x) = a \cdot (x-3) \cdot (x+6):$
die quadratische Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=-6$
Die drei Darstellungsformen
Je nachdem, was man bestimmen möchte, eignen sich die drei Darstellungsformen – die allgemeine Form, die Scheitelpunktform sowie die Linearfaktorform – einer quadratischen Funktion auf unterschiedliche Art und Weise.
Tüftelaufgabe:
Kurzvortrag gefällig?
Diese Aufgabe eignet sich hervorragend für einen kurzen benoteten Vortrag, in dem du der Klasse deine Ergebnisse und Überlegungen vorstellst und so dein Können unter Beweis stellst.