Die Scheitelpunktform
Neben der allgemeinen Form einer Parabel $f(x)=ax^2+bx+c$ werden Parabeln häufig auch in der sogenannten Scheitelpunktform dargestellt. Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt - und somit im Grunde fast (!) alle wichtigen Eigenschaften einer Parabel - besonders leicht ablesen.
Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist gegeben durch $$ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $$ wobei $x_s$ und $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(x_s|y_s)$ sind und $a$ der Streck- bzw. Öffnungsfaktor der Parabel ist.
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Die Scheitelpunktform liefert uns nicht nur Auskunft über die Verschiebung der Parabel entlang der $y$-Achse. Sie liefert uns darüber hinaus auch eine Information darüber, wie weit der Scheitelpunkt entlang der $x$-Achse nach links oder rechts verschoben wurde.
Damit beschäftigen wir uns im kommenden Abschnitt.
Verschiebung einer Parabel entlang der $x$- und $y$-Achse
Betrachten wir die quadratische Funktion $f(x)=1,5 \cdot (x-2)^2-1$.
Wir erkennen zunächst einmal, dass die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vorliegt. Das heißt, dass sich die Koordinaten des Scheitelpunkts somit direkt ablesen lassen: $S(2|-1)$.
Abb. 1: Scheitelpunktform einer Parabel
Was heißt das nun?
Die Parabel wurde also um $2$ Einheiten nach rechts sowie um $1$ Einheit nach unten verschoben.
Außerdem lässt sich noch erkennen, dass die Parabel um den Faktor $1,5$ gestreckt wird.
Verschiebung einer Parabel entlang der $x$- und $y$-Achse
Ist eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform $ f(x) = a \cdot (x-x_s)^2 + y_s $ gegeben, so bestimmt $x_s$ die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $x$-Achse. $y_s$ wiederum bestimmt die Verschiebung des Scheitelpunkts entlang der $y$-Achse.
- $x_s > 0 :\quad$ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in positive $x$-Richtung (nach rechts)
- $x_s < 0 :\quad$ Verschiebung um $x_s$ entlang der $x$-Achse in negative $x$-Richtung (nach links)
- $x_s = 0 :\quad$ der Scheitelpunkt liegt auf der $y$-Achse
- $y_s > 0 :\quad$ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in positive $y$-Richtung (nach oben)
- $y_s < 0 :\quad$ Verschiebung um $y_s$ entlang der $y$-Achse in negative $y$-Richtung (nach unten)
- $y_s = 0 :\quad$ der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
Weitere Beispiele für verschobene Parabeln
- $f(x)=(x-3)^2+5$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 5 Einheiten nach oben und um 3 Einheiten nach rechts verschoben - $f(x)=(x+2)^2-1$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 1 Einheit nach unten und um 2 Einheiten nach links verschoben - $f(x)=-(x-1)^2$:
der Scheitelpunkt der Parabel wurde um 1 Einheit nach rechts verschoben und liegt auf der $x$-Achse. Außerdem ist die Parabel nach unten geöffnet.
Aufgabe1 (
Bettermarks)
Aufgabe2 (Ablesen von Funktionsgraphen)
Abb. 2: Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen
Aufgabe3 (Bettermarks)