Einfluss der Parameter auf die Lage und Form der Parabel
Der Streckfaktor
Den Streck- bzw. Öffnungsfaktor einer Parabel kann man ganz einfach ablesen: Er ist der Parameter $a$ vor dem $x^2$, wenn $f(x)=ax^2$ ist. Der Streckfaktor $a$ bestimmt dabei die Form der Parabel. Man spricht hierbei entweder von Streckung oder Stauchung.
In dem folgenden GeoGebra-Applet kannst du selbst ausprobieren, wie sich der Parameter $a$ auf die Form der Parabel auswirkt.
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/ua4zvcf9
Streck- bzw. Öffnungsfaktor einer Parabel
Ob eine Parabel gestreckt oder gestaucht ist, erkennst du am Vorfaktor $a$:
- $a = 1 :\quad$ der Graph ist eine Normalparabel (oranger Graph)
- $a = -1 :\quad$ der Graph ist eine nach unten geöffnete Normalparabel (blauer Graph)
- $a > 1$ oder $a < -1 :\quad$ die Parabel ist gestreckt (grüner Graph)
- $-1 < a < 1, \hspace{5pt} a \neq 0 :\quad$ die Parabel ist gestaucht (roter Graph)
Abb. 1: Gestreckte und gestauchte Parabeln
Einfluss der Parameter $b$ und $c$ auf die Normalparabel
Zurück zur allgemeinen Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$. Um den Streckfaktor $a$ haben wir uns bereits gekümmert. Wofür stehen allerdings $b$ und $c$?
Wir untersuchen also jetzt, wie die Parabel im Koordinatensystem verschoben wird, wenn wir die Parameter $b$ und $c$ verändern.
Der Parameter $c$ beeinflusst, wie weit die Parabel nach oben oder nach unten verschoben wird. Das kannst du im folgenden GeoGebra-Applet selbst testen, indem du den Schieberegler von $c$ verschiebst:
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/kfhaawtr
Vorab: Der Parameter $b$ hat keinen direkt erkennbaren Einfluss auf die Lage der Parabel. Erst wenn man genau hinschaut, wird sichtbar, was passiert, wenn sich der Parameter $b$ verändert:
Materialquelle: https://www.geogebra.org/m/mqzu6n8g
Aufgabe1 (Beobachtungsauftrag)
Die beiden GeoGebra-Applets befassen sich mit dem Einfluss der beiden Parameter $b$ und $c$ auf die Lage der Parabel im Koordinatensystem.
- Bearbeite die beiden GeoGebra-Applets.
- Notiere deine Beobachtungen stichwortartig in deine Unterlagen.
Verschiebung der Normalparabel entlang der $y$-Achse
Um nachvollziehen zu können, wie der Scheitelpunkt einer Parabel entlang der $y$-Achse verschoben wird, betrachten wir ausschließlich den Parameter $c$:
- $c=0$: der Scheitelpunkt liegt auf der $x$-Achse
- $c>0$: der Scheitelpunkt wird entlang der $y$-Achse nach oben verschoben
- $c<0$: der Scheitelpunkt wird entlang der $y$-Achse nach unten verschoben
Abb. 2: Verschiebung der Normalparabel entlang der y-Achse